Integral über Cosinus-Betrag

19.03.2013, 13:18	ImR3wirdAllesGut	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Cosinus-Betrag Meine Frage: Ich habe hier eine Integrationsaufgabe, deren Ergebnis mir eigentlich einleuchtet, ich komme allerdings nicht auf den richtigen Rechenweg. $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! \|cos(x+y)\| \, dx \end{eqnarray}$ Bei der Integration kommt 2 raus, und wenn ich anschließend über y integriere, erhalte ich 2Pi. Aber ich habe keine Idee wie ich den Betrag richtig im Integral unterbringe. Meine Ideen:* Ich hatte überlegt, das Integral aufzuspalten, aber keine günstige Lösung gefunden, da ich mich ja im mehrdimensionalen Raum befinde, und mein Ansatz einer zweidimensionalen Lösung nicht funktioniert.
19.03.2013, 14:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider hast du die Aufgabe nicht vollständig gestellt. Nach allem, was ich aus deinen Bemerkungen heraushöre, scheint es um $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \int_0^{\pi} \left\| \cos(x+y) \right\| ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray}$ zu gehen. Wenn man im inneren Integral $\begin{eqnarray} t = x+y \end{eqnarray}$ substituiert (als Funktion von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bei konstantem $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ), erhält man $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \left\| \cos(x+y) \right\| ~ \dd x = \int_y^{y + \pi} \left\| \cos t \right\| ~ \dd t \end{eqnarray}$ Die Abbildung $\begin{eqnarray} t \mapsto \left\| \cos t \right\| \end{eqnarray}$ besitzt die Periode $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Für jedes Intervall der Länge $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ erhält man daher dasselbe Integrationsergebnis: $\begin{eqnarray} \int_y^{y + \pi} \left\| \cos t \right\| ~ \dd t = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left\| \cos t \right\| ~ \dd t = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t ~ \dd t \end{eqnarray}$
19.03.2013, 15:57	ImR3wirdAllesGut	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Denkanstoß in die richtige Richtung! Ja ich hatte bewusst nicht die ganze Aufgabe angegeben, da ich nur wissen wollte, wie das mit dem Betrag funktioniert. Dann kann ich ja anstatt einer Substitution auch einfach die Integrationsgrenzen für das innere Integral direkt verschieben, sodass der Betrag wegfällt, weil ich ohnehin immer im positiven Bereich wäre. (Mir ist klar, dass das hier nur geht, da ich eine regelmäßige Cosinus-Funktion ohne andere Einflüsse habe)

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