ist meine Ableitung korrekt?

25.07.2004, 16:29

calli

ist meine Ableitung korrekt?

Hallo,

ich möcht Euch bitte meine Ableitung einmal zu überprüfen:

Ausgehend von der Sigmoid-Funktion:
$\begin{eqnarray*} s(x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})} \end{eqnarray*}$
deren Ableitung ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac{ds}{dx} = s(x)*(1-s(x)) \end{eqnarray*}$

Daraus soll nun werden:
F(x) = s(u) * ( 1 - s(v) )

und dafür suche ich die Ableitung.
(Für die Vorstellung, das ist eine Art Glockekurve)

Es gelte
$\begin{eqnarray*} s(u) = \frac{1}{(1 + e^{-u})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(v) = \frac{1}{(1 + e^{-v})} \end{eqnarray*}$

u(x) = k*x - l; u'(x) = k;
v(x) = k*x + l; v'(x) = k;

ergo:
$\begin{eqnarray*} s(u) = \frac{1}{(1 + e^{-kx +l})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(v) = \frac{1}{(1 + e^{-kx -l})} \end{eqnarray*}$

Also starten wir mal das Ableiten:
aus F(x) = s(u) - s(u)*s(v)
wird:
F'(x)= s'(u) - ( s(u)*s(v) )'

Hmm, also ..
1.) s'(u(x)) = s(u)*(1-s(u))*k
(is das ok?)

2.) ( s(u)*s(v) )' = s'(u)*s(v) + s(u)*s'(v)
= s(u)*(1-s(u))*k*s(v) + s(v)*(1-s(v))*k*s(u)
= k*s(u)*s(v)*( (1-s(u)) + (1-s(v)) )
= k*s(u)*s(v)*( 2 - s(u) - s(v) )

zusammen dann
F'(x) = k*s(u)*( (1-s(u)) - s(v)*( 2 - s(u) - s(v) ) )

huhh, ist das richtig?
Könnte man das noch vereinfachen?

Danke im Voraus und trotzdem allen ein schönes Wetter,
Calli

25.07.2004, 20:18

mathemaduenn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ist meine Ableitung korrekt?
Hallo calli

Zitat:

Original von calli
Ausgehend von der Sigmoid-Funktion:
$\begin{eqnarray*} s(x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})} \end{eqnarray*}$
deren Ableitung ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac{ds}{dx} = s(x)*(1-s(x)) \end{eqnarray*}$

Ich kenn die Sigmoid Funktion nicht aber die Ableitung hier ist s'=s(s-1)
Ansonsten schaut's ganz gut aus.
gruß
mathemaduenn

26.07.2004, 12:52

[email protected]

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ist meine Ableitung korrekt?
Arrgh,

siehste, diese Kleinigkeiten,
Danke jedenfalls,
Calli

26.07.2004, 13:57

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sigmoid Funktion: Die Bezeichnung sigmoid geht auf den aus dem griechischen Alphabet stammenden Buchstaben "Sigma" zurück. Dieser Buchstabe entspricht dem Buchstaben "S". Mit diesem Begriff werden in der Mathematik also Kurven in grafischen Darstellungen bezeichnet, die in ihrem Verlauf diesem Buchstaben ähnlich sind.

Gruß, therisen

26.07.2004, 14:16

Harry Done

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ist meine Ableitung korrekt?
Meiner Meinung nach war die von Calli vorgeschlagene Ableitung für s(x) mit ds/dx=s(1-s) schon richtig angegeben. Ich habe auch diese Ableitung bestimmt,wurde allerdings etwas unsicher und habe nochmal beide Vorschläge als DGLs gelöst mit Bestimmung der Konstanten aus der Bedingung für s(0)=1/2.
In der Lösung von Mathemaduenn ist das x im Exponenten hingegen nicht negativ.

Hoffe ich erzähle hier nichts falsches,
Gruß Harry

26.07.2004, 14:33

mathemaduenn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo
@calli
Entschuldige HarryDone hat Recht
X( Vorzeichenfehler
Man sieht es ja in therisen's Grafik auch schön monoton wachsend,kleiner 1 größer 0 -> Ableitung >0 ,s(s-1)<0 Sprich ein schöner Widerspruch.

gruß
mathemaduenn

Neue Frage »

Antworten »

ist meine Ableitung korrekt?

Verwandte Themen