Frage zu einer Abbildung

19.03.2013, 16:22

fleurita

Frage zu einer Abbildung

Meine Frage:
hey ihr! Also: V, W sind endlich-dimensionale K-vektorräume, $\begin{eqnarray*} B_V=\{v_1,\dots , v_n\} \end{eqnarray*}$ eine basis von V und $\begin{eqnarray*} w_1,\dots , w_n \in W \end{eqnarray*}$ .

Dann gibts genau eine lineare abbildung $\begin{eqnarray*} f: V\to W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also die abbildung bildet wohl basisvektoren des urbildvektorraums auf gegebene vektoren des bildvektorraums ab. Aber was ist mit dem restlichen vektoren aus V? Wohin werden die abgebildet?

19.03.2013, 16:24

Che Netzer

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RE: Frage zu einer Abbildung
Die restlichen Vektoren kannst du als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ darstellen. Dann nutze die Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus.

19.03.2013, 16:30

fleurita

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RE: Frage zu einer Abbildung
danke dir. Du meinst $\begin{eqnarray*} f(v)=f\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_iv_i\right)=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_if(v_i)=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_iw_i \end{eqnarray*}$ ?

19.03.2013, 16:32

Che Netzer

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RE: Frage zu einer Abbildung
Genau.
Lineare Abbildungen werden so durch die Bilder der Basisvektoren im Urbildraum eindeutig bestimmt.

19.03.2013, 16:39

fleurita

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RE: Frage zu einer Abbildung

Zitat:

Original von Che Netzer
Lineare Abbildungen werden so durch die Bilder der Basisvektoren im Urbildraum eindeutig bestimmt.

danke dir. Meinst du damit: Wenn man eine lineare abbildung hat sowie eine basis des urbild(vektor-)raums. Dann ist durch die bilder der basisvektoren die lineare abbildung eindeutig festgelegt?

(ich versuche immer alles in eigenen worten zu wiederholen um zu gucken ob ichs verstanden hab smile