Elektrische Schaltung - Wahrscheinlichkeiten mit ODER

19.03.2013, 16:58

systa

Elektrische Schaltung - Wahrscheinlichkeiten mit ODER

Moin Leute,

ich habe mal wieder eine Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung korrekt ist.

Die Aufgabe:
Die gegebene Schaltung enthält 5 Bauelemente, die Wahrscheinlichkeiten geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Bauteile AUSFALLEN.
Das Versagen der Bauteile ist unabhängig von den anderen Bauteilen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Stromkreis unterbrochen.
Bild im Anhang

Mein Lösungsweg:
Der Stromkreis wird nur unterbrochen, wenn alle Stränge gleichzeitig ausfallen. Solange mindestens ein Strang Strom leitet, ist der Stromkreis geschlossen und funktioniert.

A: "Stromkreis geschlossen"
$\begin{eqnarray*} A:= (E_1\cap E_2)\cup(E_1\cap E_3)\cup(E_4\cap E_5)\cup(E_4\cap E_3) \end{eqnarray*}$
Der Stromkreis ist also geschlossen, falls entweder die Route E1E2, oder E1E3 oder E4E5 oder E4E3 leiten.
Um weiter zu rechnen nehme ich nun immer "1-Ausfallwahrscheinlichkeit". Dies gibt mir die Wahrscheinlichkeit mit der das Bauteil funktioniert.

Für meine Rechnung berechne ich jeden Strang seperat und gehe dann iterativ mit ODER vor.
$\begin{eqnarray*} (E_1\cap E_2)=0,765 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E_1\cap E_3)=0,63 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E_4\cap E_5)=0,6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E_4\cap E_3)=0,56 \end{eqnarray*}$

Dann:
$\begin{eqnarray*} P_1:= (E_1\cap E_2)\cup(E_1\cap E_3) = 0,91305 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2:= P_1\cup(E_4\cap E_5) = 0,96522 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_3:= P_2\cup(E_4\cap E_3) = 0,9846968 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} A:= 98,47% \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stromkreis unterbrochen wird ist nun 1-A = 1,53%

Ist mein Vorgehen so korrekt ?

Liebe Grüße,
Alex

20.03.2013, 10:44

Coolmogorov

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Hi,

Ich denke, der Ansatz ist richtig. Mir ist nicht klar, wo die Wahrscheinlichkeiten herkommen $\begin{eqnarray*} P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) P(E_2) \end{eqnarray*}$ ? Dann fehlt da der Hinweis auf die stochastische Unabhängigkeit, sonst kann man das nicht einfach als Produkt schreiben. (Ich meine, dass du bei deiner Lösung dazu schreiben musst, dass du das Produkt nimmst, weil du weißt, dass die Ausfälle s.u. sind).

Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann ich deinen Rechenweg auch nicht nachvollziehen, aber wenn du da überall die Siebformel benutzt hast, also $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ sollte das so korrekt sein, denke ich Augenzwinkern

20.03.2013, 11:00

systa

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Die Bauteile sollen stochastisch unabhängig sein, steht so in der Aufgabenstellung.

Meine Wahrscheinlichkeiten beschreiben zunächst immer eine Route, auf welcher der Strom fließen könnte. Zum Beispiel durch das Bauteil E1 und E2 zum Ziel.

Da es mehrere Routen gibt und der Stromkreis nur unterbrochen wird wenn alle ausfallen, verrechne ich die jeweiligen Routen mittels ODER.

20.03.2013, 11:06

Huggy

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RE: Elektrische Schaltung - Wahrscheinlichkeiten mit ODER

Zitat:

Original von systaDie Wahrscheinlichkeit, dass der Stromkreis unterbrochen wird ist nun 1-A = 1,53%

Der Stromkreis ist definitiv unterbrochen, wenn E1 und E4 ausfallen. Das allein gibt schon eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 2 %.

20.03.2013, 11:58

systa

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Dann würde ich alle Variationen aufzählen, in welchen der Stromkreis nicht leitet:
$\begin{eqnarray*} P(E_1\cap E_4)\cup P(E_2\cap E_5)\cup P(E_4\cap E_2\cap E_3)\cup P(E_1\cap E_5\cap E_3) \cup P(E_2\cap E_3\cap E_5) \cup P(E_2\cap E_3\cap E_4\cap E_5)\cup P(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_5)\cup P(E_1\cap E_3\cap E_4) \cup P(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4\cap E_5) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das alles ausrechne bekomme ich eine Wahrscheinlichkeit von 9,146%

Bin ich auf dem richtigen Weg?

LG,
Alex

20.03.2013, 14:18

Huggy

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Ich komme auf ein anderes Ergebnis, nämlich

$\begin{eqnarray*} P(\text{unterbrochen})=0.0422 \end{eqnarray*}$

Deine Bezeichnungen sind unsinnig. Wenn A und B Ereignisse sind und P(A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnet, dann kann man $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \end{eqnarray*}$ bilden.
Man kann aber nicht $\begin{eqnarray*} P(A) \cup P(B) \end{eqnarray*}$ bilden, wie du es tust. Das erklärt noch nicht, wo dein Fehler steckt. Ich vermute mal, du rechnest:

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$

Das gilt aber nur, wenn die Ereignisse A und B sich gegenseitig ausschließen. Allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

20.03.2013, 14:23

systa

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Moin,

ich habe bei obigem wie folgt gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$

sowie:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A) * P(B) \end{eqnarray*}$

Wie bist du denn rechnerisch vorgegangen?
Meine zweite Rechnung hat alle möglichen Kombinationen, in denen die Schaltung unterbrochen ist, aufgelistet und mittels ODER verknüpft.

Liebe Grüße,
Alex

20.03.2013, 14:24

Dopap

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kleine Frage am Rande,

löst man solche Zuverlässigkeiten nicht wiefolgt: ?

Die $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ sind Indikatoren mit dem Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(E_i)=1-p_i=q_i \end{eqnarray*}$

z.B. $\begin{eqnarray*} E(E_3)=0.7 \end{eqnarray*}$

Beim Ausmultiplzieren und Zusammenfassen ist zu beachten, dass $\begin{eqnarray*} E_i^2=E_i \end{eqnarray*}$ gilt.

20.03.2013, 15:40

Huggy

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Zitat:

Original von systa
Wie bist du denn rechnerisch vorgegangen?

Es sei $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass das Bauteil i funktioniert und $\begin{eqnarray*} \overline E_i \end{eqnarray*}$ sei das Ereignis, dass das Bauteil i nicht funktioniert. P(A) sei die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A.

Notwendige Bedingung für das Funktionieren der Schaltung ist, dass mindesten eines der Bauteile 1 oder 4 funktioniert. Das lässt sich in 3 disjunkte Ereignisse aufteilen:

$\begin{eqnarray*} E_1 \cup E_4 = (E_1 \cap \overline E_4) \cup (\overline E_1 \cap E_4) \cup (E_1 \cap E_4) \end{eqnarray*}$

Wenn Bauteil 1 funktioniert und Bauteil 4 nicht funktioniert, muss Bauteil 2 oder Bauteil 3 funktionieren.
Wenn Bauteil 1 nicht funktioniert und Bauteil 4 funktioniert, muss Bauteil 3 oder Bauteil 5 funktionieren.
Wenn Bauteil 1 und Bauteil 4 funktionieren, muss Bauteil 2 oder Bauteil 3 oder Bauteil 5 funktionieren.

Daraus ergibt sich für das Funktionieren der Schaltung folgende Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(F)=P(E_1 \cap \overline E_4) \cdot P(E_2 \cup E_3)+P(\overline E_1 \cap E_4)\cdot P(E_3 \cup E_5)+P(E_1 \cap E_4) \cdot P(E_2 \cup E_3 \cup E_5) \end{eqnarray*}$

Das hat bei mir

$\begin{eqnarray*} P(F)= 0.9578 \end{eqnarray*}$

ergeben.

21.03.2013, 16:33

systa

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Moin,

sry wegen der späten Antowrt.

Ich habe es nachmal nachgerechnet und du hast Recht. Danke für die Rechnung.

LG,
Alex

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