Integralrechnungen

19.03.2013, 19:02

Daniel1210

Integralrechnungen

gegeben : $\begin{eqnarray*} \int_a^1 \! x*e^{x} \, dx , a=-1 \end{eqnarray*}$ wenn ich für a=-1 in den Formeleditor eingab, kam da was ganz komisches, bei der vorschau. Deshalb a zusätzlich angegeben.

Meine lösung: 1,175 Ist das richtig ?

19.03.2013, 19:10

For-Real

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RE: Integralrechnungen
Nur kurz; du musst einfach geschweifte Klammern setzen :

code:
1:	[latex] \int_{-1}^1 \! x*e^{x} \, dx [/latex]

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$
Mein GTR gibt mir leider ein anderes Ergebnis unglücklich

19.03.2013, 19:15

Daniel1210

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aso ok .

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2}*x²*e^x \end{eqnarray*}$ ist doch richtig oder ?

19.03.2013, 19:18

Mulder

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Nein, völlig falsch.

Einfach die Faktoren "einzeln" integrieren funktioniert nicht. Genau so, wie das auch beim Ableiten nicht geht (du wirst ja sicher mal die Produktregel kennen gelernt haben).

Partielle Integration brauchst du hier.

19.03.2013, 19:38

Daniel1210

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aso , gut jetzt blicke ich es durch. Hab neu gerechnet. ist dann die lösung

F(x)=e^x*(x-1)+c ?

und eine weitere Frage , wenn in einem integral etwas mit x auf beiden seiten multipliziert wird, muss man die produktintegration anwenden richtig ?

19.03.2013, 19:46

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
aso , gut jetzt blicke ich es durch. Hab neu gerechnet. ist dann die lösung

F(x)=e^x*(x-1)+c ?

Das ist die Stammfunktion, ja. Auf das +c kannst du bei bestimmten Integralen auch wohl verzichten, es fällt ja ohnehin weg, wenn du die Grenzen einsetzt. Aber falsch ist es natürlich nicht, es dazu zu schreiben.

Zitat:

Original von Daniel1210
und eine weitere Frage , wenn in einem integral etwas mit x auf beiden seiten multipliziert wird, muss man die produktintegration anwenden richtig ?

Verstehe die Frage leider nicht.

Beim Integrieren ist das mit Kochrezepten allerdings immer etwas schwierig. Nicht jedes Produkt kann man mit partieller Integration integrieren. Es kommt immer ganz auf den Integranden an.

Schon eine minimale Änderung z.B. zu

$\begin{eqnarray*} \int x \cdot e^{x\color{red}^2\color{black}} \, \dd x \end{eqnarray*}$

reicht aus, um die Situation grundlegend zu verändern - hier würde man jetzt mit partieller Integration nicht mehr weiter kommen.

Integrieren ist Übungssache. Und manchmal auch einfach ein bisschen rumprobieren.

19.03.2013, 19:56

Daniel1210

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ok danke, die lösung lautet doch nun also dann F(1)-F(-1)= -0,735758882 oder ?.

und nächste Frage ist dies auch richtig partiell integriert

$\begin{eqnarray*} \int_0^3 \! x*(x-3)^5 \, dx = x*(x-3)^5-\frac{1}{2}*(x-3)^5+c \end{eqnarray*}$ ? wenn ja, kann man das noch weiter zusammenfassen ?

19.03.2013, 20:06

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
ok danke, die lösung lautet doch nun also dann F(1)-F(-1)= -0,735758882 oder ?.

Willst du die Fläche berechnen, die der Graph von f auf dem Intervall [-1,1] mit der x-Achse einschließt? Dann ist darauf zu achten, dass bei x=0 eine Nullstelle vorliegt, über die du nicht einfach so hinweg integrieren darfst. Das Integral müsstest du dann also entsprechend aufteilen.

Wenn du nur den Wert des Integrals berechnen willst, wäre das Ergebnis zumindest betragsmäßig richtig, das Minuszeichen ist falsch. Da hast du irgendeinen Vorzeichenfehler.

Also kläre bitte erst einmal, was genau die Aufgabe ist.

Zitat:

Original von Daniel1210
und nächste Frage ist dies auch richtig partiell integriert

$\begin{eqnarray*} \int_0^3 \! x*(x-3)^5 \, dx = x*(x-3)^5-\frac{1}{2}*(x-3)^5+c \end{eqnarray*}$ ? wenn ja, kann man das noch weiter zusammenfassen ?

Das Ergebnis ist falsch. Was ist denn eine Stammfunktion von (x-3)^5? Reche nochmal.

19.03.2013, 20:26

Daniel1210

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Zitat:

Original von Mulder

Willst du die Fläche berechnen, die der Graph von f auf dem Intervall [-1,1] mit der x-Achse einschließt? Dann ist darauf zu achten, dass bei x=0 eine Nullstelle vorliegt, über die du nicht einfach so hinweg integrieren darfst. Das Integral müsstest du dann also entsprechend aufteilen.

Wenn du nur den Wert des Integrals berechnen willst, wäre das Ergebnis zumindest betragsmäßig richtig, das Minuszeichen ist falsch. Da hast du irgendeinen Vorzeichenfehler.

Also kläre bitte erst einmal, was genau die Aufgabe ist.

also die aufgabe lautet einfach : "Berechnen Sie", und dann ist halt das integral $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$ gegeben. Ich hab alles in den Taschenrechner mehrmals eingegeben, und jedesmal kommt das minuszeichen davor verwirrt

Zitat:

Original von Mulder Das Ergebnis ist falsch. Was ist denn eine Stammfunktion von (x-3)^5? Reche nochmal.

also die Regel zur Produktintegration ist ja : $\begin{eqnarray*} \int \! u´*v \, dx = u*v-\int\! u*v´ \, dx \end{eqnarray*}$

wie mache ich ein strich oben ? das sieht ja aus wie eine 4, obwohl ich immer den strich einfüge.

Meine Rechnung : $\begin{eqnarray*} \int \! 1*(x-3)^5 \, dx =x*(x-3)^5-\int\! x*5(x-3)^4 \, dx = x*(x-3)^5-\frac{1}{2}*x^2*(x-3)^5+c \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 20:28

For-Real

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Bezüglich des Taschenrechners;

Welchen besitzt Du?

19.03.2013, 20:32

Daniel1210

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Zitat:

Original von For-Real
Bezüglich des Taschenrechners;

Welchen besitzt Du?

Ich benutze den " TI-30X II S " von Texas Instruments.

19.03.2013, 20:34

For-Real

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Besitzt der zufällig die Funktion "fnInt()"?

Also mein GTR (TI-84) rechnet den Zahlenwert positiv aus..
möglicherweise hast du -1 und 1, also die Grenzen vertauscht, denn
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =- \int_b^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 20:37

Daniel1210

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Zitat:

Original von For-Real
Besitzt der zufällig die Funktion "fnInt()"?

Also mein GTR (TI-84) rechnet den Zahlenwert positiv aus..
möglicherweise hast du -1 und 1, also die Grenzen vertauscht, denn
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =- \int_b^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

also ich habe einfach das hier gerechnet : F(1)-F(-1) mit der Stammfunktion die ich errechnet habe.

19.03.2013, 20:38

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
also die aufgabe lautet einfach : "Berechnen Sie",

Okay, dann geht es wohl nicht um Flächeninhalte. Dann kannst du F(1)-F(-1) berechnen.

Warum du das Minuszeichen da rein bekommst, kann ich dir nicht sagen. Es gehört da jedenfalls nicht hin.

Du kannst es ja auch einfach mal von Hand berechnen, so wie ich das auch gemacht habe.

Zitat:

Original von Daniel1210
wie mache ich ein strich oben ?

Nicht den Apostroph nehmen. Nimm den Strich auf der Teste rechts vom "Ä".

Zitat:

Original von Daniel1210
Meine Rechnung : $\begin{eqnarray*} \int \! 1*(x-3)^5 \, dx =x*(x-3)^5-\int\! x*5(x-3)^4 \, dx = x*(x-3)^5-\frac{1}{2}*x^2*(x-3)^5+c \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt wirklich völlig konfus. Das fängt schon ganz links an, wo plötzlich 1* ... steht. Ich würde sagen: Versuch's nochmal. Denn da ist eigentlich alles schief gelaufen und falsch.

19.03.2013, 20:42

For-Real

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Du wirst wohl die Klammer falsch gesetzt haben:

$\begin{eqnarray*} F(1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(-1)=-0{,}7357589 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(1)-F(-1)=0-(-0,735789)=+0,735789 \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 21:06

Daniel1210

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Zitat:

Original von Mulder

Warum du das Minuszeichen da rein bekommst, kann ich dir nicht sagen. Es gehört da jedenfalls nicht hin.

Du kannst es ja auch einfach mal von Hand berechnen, so wie ich das auch gemacht habe.

Hat sich geklärt. Dein Ergebniss stimmt.

Danke For-Real , hast recht hab das minus vor der Klammer vergessen.

Zitat:

Original von Mulder

Das ist jetzt wirklich völlig konfus. Das fängt schon ganz links an, wo plötzlich 1* ... steht. Ich würde sagen: Versuch's nochmal. Denn da ist eigentlich alles schief gelaufen und falsch.

Also die Regel kennst du ja , ich habe einfach das gegebene Integral darin eingesetzt. (und zunächst nicht auf das Intervall geachtet.)

$\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=(x-3)^5 \end{eqnarray*}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=5(x-3)^4 \end{eqnarray*}$

dann alles in die formel eingesetzt woraus folgt :
$\begin{eqnarray*} <br /> \int \! 1*(x-3)^5 \, dx = x*(x-3)^5-\int \! x*5(x-3)^4 \, dx \end{eqnarray*}$

was wiederum $\begin{eqnarray*} = x*(x-3)^5-\frac{1}{2}*x²*(x-3)^5+c \end{eqnarray*}$ ist .

19.03.2013, 21:12

Mulder

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Die Regel lautet:

$\begin{eqnarray*} \int u' v = uv- \int u v' \end{eqnarray*}$

Wir fangen mit dem auf der linken Seite an. Das ist das, was wir vorliegen haben. Wir WÄHLEN also erst einmal

$\begin{eqnarray*} u'=(x-3)^5 \quad \text{und} \quad v =x \end{eqnarray*}$

So hast du das doch bei dem ersten Integral auch gemacht. Und jetzt plötzlich nicht mehr? verwirrt

Schau dir deine Rechnung nochmal an: Du hast da jetzt versucht, eine Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int 1 \cdot (x-3)^5 \, \dd x \end{eqnarray*}$

zu ermitteln, was aber überhaupt nicht die Aufgabe ist.

Und überdies hast du im allerletzten Schritt erneut zwei Faktoren einzeln integriert, was aber eben nicht erlaubt ist. Sonst bräuchten wir diesen ganzen Zirkus mit der partiellen Integration doch gar nicht.

19.03.2013, 21:17

Che Netzer

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OT:

Zitat:

Original von Mulder
Nicht den Apostroph nehmen. Nimm den Strich auf der Teste rechts vom "Ä".

´ ist ein Akut. Der Strich rechts vom Ä ist zwar kein Apostroph, wenn man es ganz genau nimmt, aber das Ersatzzeichen dafür.

19.03.2013, 21:18

Daniel1210

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wie jetzt

ist u' einfach jetzt = (x-3)^5 ? Ich dachte man, muss das u' bilden. Ich dachte das u=(x-3)^5 ist und man u' somit halt 5(x-3)^4 .
Verstehst du was ich meine ? :0

19.03.2013, 21:22

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
Ich dachte man, muss das u' bilden.

Nein, mit u' fangen wir an und bilden dann u.

Für alles weitere siehe meinen letzten Post.

Oder schau dir nochmal an, wie du es beim letzten Beispiel gemacht hast. Ich finde es etwas befremdlich, bei einem Beispiel die Regel für partielle Integration korrekt anzuwenden (ich nehme jedenfalls an, dass du das richtig gemacht hast, weil das Ergebnis ja stimmt), und dann beim nächsten Beispiel plötzlich nicht mehr zu wissen, was diese Regel aussagt.

19.03.2013, 21:41

Daniel1210

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beim ersten mal hab ich ja e^x abgeleitet und weil das ja gleich bleibt , war das ergebniss zufällig richtig. Nun egal ich mache es nochmal wie du es gesagt hast. smile

hab jedoch u und v anders zugeordnet was jedoch egal ist , meine ich.

$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x-3)^5 \, dx = \frac{1}{2}x²-(x-3)^5-\int \! x*5(x-3)^4 \, dx \end{eqnarray*}$ ist dieser ansatz richtig ?

19.03.2013, 21:46

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x-3)^5 \, dx = \frac{1}{2}x²-(x-3)^5-\int \! x*5(x-3)^4 \, dx \end{eqnarray*}$ ist dieser ansatz richtig ?

Nein, ist falsch. Schau nochmal genau hin. Es muss wenn schon heißen:

$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x-3)^5 \, dx = \frac{1}{2}x²(x-3)^5-\int \! \color{red} \frac{1}{2}x² \color{black} *5(x-3)^4 \, dx \end{eqnarray*}$

Aber findest du denn, dass das neue Integral auf der rechten Seite jetzt irgendwie besser ist als das ursprüngliche? Nein, ist es nicht.

Und es ist eben im Allgemeinen NICHT egal, wierum man u' und v wählt. Es gibt vielleicht ein paar Beispiele, wo das egal ist, aber ansonsten geht es meistens darum, das u' und das v möglichst geschickt zu wählen, damit das neue Integral möglichst einfach wird. Oder zumindest einfacher als das Integral, das du von Anfang an hattest. Und das hast du jetzt überhaupt nicht erreicht.

Also mach es andersrum, so wie ich es schon längst vorgeschlagen habe. Dann siehst du, dass es viel einfacher wird.

Generell ist es dir frei überlassen, wie du u' und v wählst. Nur sollte dabei halt auch was sinnvolles rauskommen, was die Sache dann erleichtert.

19.03.2013, 21:54

Daniel1210

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ok , dann mach ich es andersrum . $\begin{eqnarray*} \int \!(x-3)^5*x \, dx = \frac{1}{6}(x-3)^6*x-\int \! \frac{1}{6}(x-3)^6*1 \, dx \end{eqnarray*}$ diesmal richtig oder ? verwirrt

19.03.2013, 21:57

Mulder

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Ja, stimmt. Und jetzt siehst du auch, warum das schöner ist: In dem neuen Integral auf der rechten Seite sind wir jetzt das Produkt endlich los. Das heißt, dieses Integral ist jetzt noch ganz leicht zu lösen und schon bist du fertig.

19.03.2013, 22:08

Daniel1210

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gut danke . das ergebniss ist dann : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(x-3)^6*x-\frac{1}{42}(x-3)^7 \end{eqnarray*}$ oder ? .

eine andere frage habe ich noch. wie ist es bei anderen Integralen ? z.B. $\begin{eqnarray*} \int \! x²*e^x \, dx \end{eqnarray*}$

weil hier wird das ja nicht so einfach wie bei dem einen jetzt.

19.03.2013, 22:10

Mulder

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Die Stammfunktion ist richtig.

Zitat:

Original von Daniel1210
eine andere frage habe ich noch. wie ist es bei anderen Integralen ? z.B. $\begin{eqnarray*} \int \! x²*e^x \, dx \end{eqnarray*}$

Ist das gleiche Schema, aber hier müssen wir zwei Mal partielle Integration anwenden. So kannst du das x² in zwei Schritten auf eine Konstante runterprügeln und bist dann wieder das Produkt los.

19.03.2013, 22:23

Daniel1210

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kannst du mir erklären inwiefern ich das 2 mal in einem mache ? ich blicke das nämlich gerade nicht durch verwirrt

also jetzt bei dem oben genannten beispiel z.b.

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx =e^x*x²-\int \! e^x*2x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =e^x*x²-e^x*x²=0 \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 22:28

Daniel1210

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oder z.B. bei $\begin{eqnarray*} \int \! (2x-5)^4*x² \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! (2x-5)^4*x² \, dx = \frac{1}{5}(2x-5)^5*x²-\int \! \frac{1}{5}(2x-5)^5*2x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{5}(2x-5)^5*x²-\frac{1}{30}(2x-5)^6*x² \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 22:31

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx =e^x*x²-\int \! e^x*2x \, dx \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von Daniel1210
$\begin{eqnarray*} =e^x*x²-e^x*x²=0 \end{eqnarray*}$

Das hingegen ist unsinnig. Bitte sag mir nicht, dass du jetzt SCHON WIEDER bei dem Integral auf der rechten Seite die beiden Faktoren einzeln integriert hast. Kannst du dir das jetzt bitte mal abgewöhnen? unglücklich

Wir haben nun:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx =e^x*x²-\color{blue}\int \! e^x*2x \, dx \color{black} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Das Integral rechts beinhaltet jetzt nach wie vor ein Produkt. Das stört uns noch. Was wir nun machen: Wir schnappen uns

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*2x \, dx \end{eqnarray*}$

und wenden darauf in einer Nebenrechnung erneut partielle Integration ein. Und das, was du dann erhälst, setzt du in die Gleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ wieder ein.

Und noch eine Bitte: Bitte diesen Thread jetzt nicht immer mit immer neuen Aufgaben überfluten (und schon gar nicht mehrere gleichzeitig!). Diese Aufgabe hier können wir noch machen, aber dann habe ich keine Zeit mehr, eröffne gegebenenfalls einen neuen Thread für weitere Integrale.

19.03.2013, 22:42

Daniel1210

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aso , also so :

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx = e^x*x²-\int \! e^x(2x-2) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> =e^x(x²-\frac{1}{2}(2x-2)^2 \end{eqnarray*}$ oder ?

19.03.2013, 22:45

Daniel1210

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Zitat:

Original von Mulder
Und noch eine Bitte: Bitte diesen Thread jetzt nicht immer mit immer neuen Aufgaben überfluten (und schon gar nicht mehrere gleichzeitig!). Diese Aufgabe hier können wir noch machen, aber dann habe ich keine Zeit mehr, eröffne gegebenenfalls einen neuen Thread für weitere Integrale.

oh sry , ok werde demnächst für weitere Beispiele neu Threads aufmachen smile

. Sry das ich aufgehalten habe. unglücklich

, habe nicht mehr auf die zeit geachtet.

19.03.2013, 22:46

Mulder

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Irgendwie haben wir wohl ein Kommunikationsproblem:

Zitat:

Original von Daniel1210
Bitte sag mir nicht, dass du jetzt SCHON WIEDER bei dem Integral auf der rechten Seite die beiden Faktoren einzeln integriert hast. Kannst du dir das jetzt bitte mal abgewöhnen? unglücklich

Darüber hinaus sollstest du wirklich mal beherzigen, was ich geschrieben habe.

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*2x \, dx \end{eqnarray*}$

Wende darauf jetzt partielle Integration an. Was erhälst du? Danach machen wir weiter.

Edit: Es ist generell nicht schlimm, wenn du in deinem Thread weitere Aufgaben zu dem selben Thema stellst. Es war ja nur eine Bitte von mir, keine Anweisung. Du hast also nix falsch gemacht in dem Sinne. Ich habe halt nur für noch mehr Aufgaben keine Zeit mehr (morgen vor allem nicht, darum diese Anmerkung, da kannst du besser einen neuen Thread eröffnen, in dem du dann zeitnah von jedem anderem Hilfe bekommen kannst).

19.03.2013, 22:54

Daniel1210

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Zitat:

Original von Mulder
Irgendwie haben wir wohl ein Kommunikationsproblem:

Zitat:

ehm ja, ich habe das alles direkt auf einma gemacht :0 also

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*2x \, dx =e^x*2x-\int \! e^x*2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^x*2x-2e^x=e^x(2x-2) \end{eqnarray*}$

danach habe ich das eingesetzt :

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx = e^x*x²-\int \! e^x(2x-2) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> =e^x(x²-\frac{1}{2}(2x-2)^2 \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 23:04

Mulder

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Zitat:

Original von Daniel1210
$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*2x \, dx =e^x*2x-\int \! e^x*2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^x*2x-2e^x=e^x(2x-2) \end{eqnarray*}$

Das ist ja dann richtig. Nur: Wo kommt dann plötzlich dieses Integralzeichen hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx = e^x*x²-\color{red} \int \color{black} \! e^x(2x-2) \, \color{red} dx \color{black} \end{eqnarray*}$

wieder her? verwirrt

Wir hatten:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx =e^x*x²-\color{blue}\int \! e^x*2x \, dx \color{black} \end{eqnarray*}$

In einer Nebenrechnung hast du nun berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*2x \, dx = e^x(2x-2) \end{eqnarray*}$

Und so ersetzen wir das nun auch:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^x*x² \, dx =e^x*x²-\color{blue}e^x(2x-2) \color{black} \end{eqnarray*}$

Und schon sind wir fertig (nur eine Integrationskonstanten sollten wir der Vollständigkeit halber noch ersetzen, wenn wir hier mit unbestimmten Integralen arbeiten).

Gerade bei mehrfacher partieller Integration ist wirklich Sorgfalt geboten, man kann da schnell durcheinander kommen. Also strukturiert und gründlich alles aufschreiben.

Und (leider) nochmal:

Zitat:

Original von Mulder
Bitte sag mir nicht, dass du jetzt SCHON WIEDER bei dem Integral auf der rechten Seite die beiden Faktoren einzeln integriert hast. Kannst du dir das jetzt bitte mal abgewöhnen? unglücklich

Du solltest dir das jetzt so langsam mal in den Kopf hämmern. Auch bei dem neuen Integral, das du durch partielle Integration erhälst, gilt die Regel, dass man nicht Faktoren einzeln integrieren darf. Nimm das ernst, in einer etwaigen Klausur wirst du dir doch unnnötig Punkte versauen.

Und im Übrigen hast du das $\begin{eqnarray*} (2x-2) \end{eqnarray*}$ auch noch falsch integriert. Wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} \int (2x-2) \, \dd x = \frac{1}{\color{red}4\color{black}}(2x-2)^2 +C \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 23:13

Daniel1210

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Zitat:

Original von Mulder

Und im Übrigen hast du das $\begin{eqnarray*} (2x-2) \end{eqnarray*}$ auch noch falsch integriert. Wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} \int (2x-2) \, \dd x = \frac{1}{\color{red}4\color{black}}(2x-2)^2 +C \end{eqnarray*}$

Ok , habe es nun verstanden . Ich bedanke mich 1000x mal smile

. Du hast mir geholfen für die Klausur morgen.

Ich weiß das du keine Zeit hast, aber das letzte (siehe Zitat) habe ich nicht verstanden (weil wenn man integriert ist es doch so, dass der exponent sich um 1 erhöht und der vorfaktor durch den neuen exponent diviediert wird. Ich verstehe daher die integration von dir nicht.). Ich bitte nur um Hilfe,wenn es die Zeit dir noch erlaubt, ansonsten möchte ich mich bei dir nochmals recht herzlich bedanken und wünsche eine gute nacht.

( weil wenn man integriert ist es doch so, dass der exponent sich um 1 erhöht

19.03.2013, 23:20

Mulder

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Du kannst dir die Frage beantworten, indem du

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(2x-2)^2 \end{eqnarray*}$

einfach wieder ableitest. Dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{1}{4}(2x-2)^2 \right )' = 2 \cdot \left ( \frac{1}{4}(2x-2) \right ) \color{blue}\cdot 2 \end{eqnarray*}$

Dieses *2 ganz am Ende ist der Kettenregel geschuldet. Innere mal äußere Ableitung. Und dieses *2 am Ende ist die Ableitung der inneren Funktion (2x-2). Und sowas muss auch beim Integrieren berücksichtigt werden. Formal steckt dahinter die Integralsubstitution

$\begin{eqnarray*} 2x-2=t \end{eqnarray*}$

Die Integralsubstitution ist ja gewissermaßen die "Umkehrung" der Kettenregel.

Darum kann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(2x-2)^2 \end{eqnarray*}$

nicht hinhauen. Denn wenn du das ableitest, erhälst du ja

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{1}{2}(2x-2)^2 \right )' = 2 \left ( \frac{1}{2}(2x-2) \right ) \cdot 2 = 2 (2x-2) \end{eqnarray*}$

Passt also nicht, denn wir hatten ja eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} (2x-2) \end{eqnarray*}$ gesucht, und nicht zu $\begin{eqnarray*} 2(2x-2) \end{eqnarray*}$ .

Das mit dem Exponenten, der sich um 1 erhöht, und dass man durch den "neuen" Exponenten dividiert, das stimmt ja alles. Aber das betrifft in diesem Fall nur die äußere Funktion. Die innere Funktion hast du hingegen nicht berücksichtigt, das ist alles. Bei sowas wie

$\begin{eqnarray*} (x-3)^5 \end{eqnarray*}$

haben wir das Problem nicht, weil die innere Funktion hier $\begin{eqnarray*} x-3 \end{eqnarray*}$ ist und die Ableitung davon ist 1. Daher macht das keine Probleme. Aber bei sowas wie $\begin{eqnarray*} (2x-2) \end{eqnarray*}$ ist das eben nicht mehr der Fall.

19.03.2013, 23:24

Daniel1210

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Aso , ich verstehe, nun ja das haben wir noch nicht gelernt,daher wird das auch nicht vorkommen.
Ich bedanke mich wirklich sehr. Ich freue mich sehr ,dass du mir geholfen hast und schätze es auch. Du hast sehr viel Zeit hierbei investiert. Deshalb ein dickes Lob meinerseits Freude