Rotationssymmetrische Funktion

19.03.2013, 23:02	PhysicsThommy	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationssymmetrische Funktion Meine Frage: Hallo, Ich habe gerade eine Aufgabe wo ich Niveaumengen berechnen muss. Kann jemand mit bitte erklären, was die Niveaumengen von rotationssymmetrischen Funktion sind? Meine Ideen: Eine Funktion heisst rotationssymmetrisch, wenn eine Funktion $\begin{eqnarray} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ existiert, mit $\begin{eqnarray} f(x) =g(r(x)) \end{eqnarray}$ Wo $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ die euklidische Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist. So habe ich $\begin{eqnarray} f^{-1} (c) =\left\{ x \in \mathbb R^2 \| g(r(x)) = c \right\} \end{eqnarray}$ Wie komme ich weiter? Was ist genau das?
20.03.2013, 13:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Vermutlich eine Funktion $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann schreiben wir statt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ besser $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ für die Elemente des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Daß $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ rotationssymmetrisch ist, bedeutet nichts anderes, als daß sich der Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ nicht ändert, solange man sich auf einem Kreis um den Ursprung bewegt. Der Graph von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist somit eine Rotationsfläche. Vielleicht ein Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \operatorname{e}^{- \left( x^2 + y^2 \right)} = \operatorname{e}^{- \left\| (x,y) \right\|^2} \end{eqnarray}$ Hier ist also $\begin{eqnarray} g(t) = \operatorname{e}^{-t^2} \end{eqnarray}$ . Ganz anschaulich: Nimm ein Zeichenblatt und trage nach rechts die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse ( $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Achse) und nach oben die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse ab. Die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse zeigt vom Blatt weg in den Raum. Wenn du nun den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} z = g(t) \end{eqnarray}$ in das $\begin{eqnarray} xz \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem zeichnest und ihn um die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse rotieren läßt, bekommst du die Rotationsfläche, die der Graph von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ darstellt.

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