Kurve parametrisieren

20.03.2013, 16:42

wirdschonwerden

Kurve parametrisieren

Meine Frage:
Ich habe folgende geschlossene Kurve:

$\begin{eqnarray*} y^2=x^2(x+\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich diese parametrisieren. Ich habe als Lösung folgendes bekommen:

$\begin{eqnarray*} y(t) = (t^2-\frac{1}{3},t(t^2-\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung habe, wie ich so spontan auf diese Parametrisierung kommen soll. Ich weiß, dass es kein einfaches Rezept zum Parametrisieren gibt, aber kann mir vllt jemand sagen, wie ich am Beispiel dieser Aufgabe geschickt zu Werke gehe? Gibt es irgendetwas, was ich übersehen habe, was mir hilft, auf die Lösung zu kommen?
Wenn es sich um einen Kreis handelt, leuchtet mir das ja ein, aber wenn es komplizierter wird, naja...

Meine Ideen:
/

20.03.2013, 18:03

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurve parametrisieren

Zitat:

Original von wirdschonwerden

$\begin{eqnarray*} y^2=x^2(x+\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich diese parametrisieren. Ich habe als Lösung folgendes bekommen:

geschockt

$\begin{eqnarray*} y(t) = (t^2-\frac{1}{3},t(t^2-\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$

.. das darf so ja wohl nicht wahr sein... von wegen y(t) = ...

also: für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$
ist
$\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{3}\geq 0 \end{eqnarray*}$

und du kannst deshalb $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{3}= t^2 \end{eqnarray*}$
wählen

dann wird $\begin{eqnarray*} y^2= ( t^2- \frac{1}{3} )^2 \cdot t^2 \end{eqnarray*}$

-> Parameterdarstellung :

$\begin{eqnarray*} x(t) = t^2 -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t) = \pm (t^2-\frac{1}{3}) \cdot t \end{eqnarray*}$

Prost

20.03.2013, 18:55

wirdschonwerden

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

[...]und du kannst deshalb $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{3} = t^2 \end{eqnarray*}$
wählen[...]

das habe ich nicht verstanden, sry. dass es größer/gleich 0 ist versteh ich, aber warum kann ich es dann mit t^2 gleichsetzen?

danke schonmal smile

20.03.2013, 22:50

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wirdschonwerden

Zitat:

[...]und du kannst deshalb $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{3} = t^2 \end{eqnarray*}$
wählen[...]

das habe ich nicht verstanden, sry. dass es größer/gleich 0 ist versteh ich,
aber warum kann ich es dann mit t^2 gleichsetzen?

.. weil t^2 auch garantiert >= 0 ist

und dann hat es noch den Vorteil dass du y nachher ohne Wurzel
als Funktion von t schreiben kannst

und: die Wahl des Parameternamens steht dir relativ frei t^2 oder u^4 oder s usw..
also warum nicht t^2 - wenn es wie oben sichtbar - Vorteile bringt ?

so - aber hast du deine unsinnige Darstellung mit dem y(t)=.. weggeschluckt?

smile

20.03.2013, 23:07

wirdschonwerden

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, jetzt klingelt es, jetzt weiß ich glaub ich was dich an dem y(t) irritiert Big Laugh

ja das soll natürlich $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ sein, das y hab ich dann in der eile verwechselt. mir ist aber klar dass das nix mit dem y aus der aufgabenstellung zu tun hat.

nach deiner theorie, dass t^2 ja auch immer positiv ist, könnte ich dann nicht auch folgendermaßen anfangen:

$\begin{eqnarray*} x^2=t^2 \end{eqnarray*}$

Denn x^2 ist ja so gesehen auch immer positiv.

20.03.2013, 23:31

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wirdschonwerden
könnte ich dann nicht auch folgendermaßen anfangen:

$\begin{eqnarray*} x^2=t^2 \end{eqnarray*}$

Denn x^2 ist ja so gesehen auch immer positiv.

lustig - dann kannst du ja gleich x=t nehmen ..(oder willst du leber x= - t) ?

und dann..

$\begin{eqnarray*} x(t)= t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = \pm t\cdot \sqrt{t+\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

warum nicht? - .. mit welchen Werten für t?
na ja..

du wolltest aber doch wissen auf welch wundersame Weise die
Darstellung in deinem Lösungsvorschlag zustande kam .. oder?
also?
.

20.03.2013, 23:36

wirdschonwerden

Auf diesen Beitrag antworten »

bin mir nicht sicher worauf du mit deiner letzten frage rauswillst.
was ist denn an dieser darstellungsweise wunderlich? ich hab links die projektion von t auf die x-achse, und rechts die projektion auf die y-achse. aber was ist daran verwunderlich? Big Laugh

20.03.2013, 23:45

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wirdschonwerden
... aber was ist daran verwunderlich?

Mann, du hast doch zu Beginn dich gewundert über das
vorgegebene Ergebnis und gejammert ->

Zitat:

Original von wirdschonwerden
Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung habe..

also, keine Ahnung warum du jetzt gross auftrumpfst Gott

und mir gar Projektionen von t erklärst <- danke..
.

20.03.2013, 23:56

wirdschonwerden

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich glaub jetzt hab ich dich verstanden. du möchtest, dass ich deinen ansatz fortführe? naja ich mal einfach mal:

wie du schon sagtest:
$\begin{eqnarray*} t^2=x+\frac{1}{3} x = t^2 -\frac{1}{3} y = t*(t^2-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

um meine grenzen für t zu erhalten, setze ich einfach meine grenzen von x, die mir gegeben waren (-1/3 und 0) ein und erhalte meine grenzen.

$\begin{eqnarray*} t\in \left[-\frac{1}{\sqrt{3} } ,\frac{1}{\sqrt{3} } \right] \end{eqnarray*}$

jetzt richtig? =)

Neue Frage »

Antworten »

Kurve parametrisieren

Verwandte Themen