Geometrische Verteilung

20.03.2013, 16:56	:-P	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Verteilung Meine Frage: Hallo, ich muss eine Präsentation zum Thema "Geometrische Verteilung" halten. Eigentlich habe ich das Thema ja verstanden, doch ich habe eine Frage zum Ausdruck. Es gibt ja diese drei Formeln für die geometrische Verteilung. Kann man sagen, dass es bei der geometrischen Verteilung drei Formeln gibt (Erfolge genau beim k-ten Versuch; k Misserfolge hintereinander; Erfolg spätestens beim k-ten Versuch). Die letzten beiden sind ja zueinander Gegenereignisse. Kann man sagen, dass es drei "Formeln" gibt? Danke im vorraus! Meine Ideen: ^^
20.03.2013, 18:05	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es gibt prinzipiell 2 Varianten der Geometrischen Verteilung: 1. Variante: Wahrscheinlichkeit, dass man genau k Versuche benötigt bis zu ersten Erfolg: $\begin{eqnarray} P(x=k)=p \cdot (1-p)^{k-1} \end{eqnarray}$ Das wäre bei dir: "Erfolge genau beim k-ten Versuch" Hierbei: "Erfolg spätestens beim k-ten Versuch" musst du aufsummieren: $\begin{eqnarray} P(x \leq k)=\sum_{i=1}^k p \cdot (1-p)^{i-1}=\sum_{i=1}^k p \cdot (q)^{i-1} \end{eqnarray}$ Die Summe ist im Prinzip eine geometrische Reihe und führt zu: $\begin{eqnarray} P(x \leq k)=p \cdot \frac{1-q^k}{1-q} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} p=1-q \end{eqnarray}$ ist, kürzen sich p und $\begin{eqnarray} (1-q) \end{eqnarray}$ heraus. $\begin{eqnarray} P(x \leq k)=1-q^k \end{eqnarray}$ 2. Variante ist bei dir: "k Misserfolge hintereinander" Ergänzend muss noch dazu gesagt werden, dass sich beim (k+1)-en Versuch ein Erfolg sich einstellt. $\begin{eqnarray} P(x=k)=p \cdot (1-p)^{k} \end{eqnarray}$ Die Wahrscheinnlichkeit spätestens bei k+1 Versuchen einen Erfolg zu erzielen, ist dann: $\begin{eqnarray} P(x \leq k)=\sum_{i=1}^k p \cdot (1-p)^{i}=\sum_{i=1}^k p \cdot (\textcolor{blue}{q})^{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =p \cdot \frac{1-q^{k+1}}{1-q}=1-q^{k+1} \end{eqnarray}$ Man kann also sagen, dass es prinzipiell zwei Formeln für zwei Varianten gibt. Nimmt man jeweils noch die Formeln für die kummulierte Wahrscheinlichkeit hinzu, dann gibt es insgesamt vier Formeln. Grüße.
30.03.2013, 14:57	Betchem	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Verteilung Vielen, vielen Dank, du hast mir echt weitergeholfen. Ich habe trotzdem noch eine Frage dazu: Für die Herleitung von "Erfolg spätestens beim k-ten Versuch" hast du ja die geometrische Summenformel angewendet, aber lautet die nicht 1-q^k+1 / 1-q ? Wo sind denn die k+1 da oben geblieben?
30.03.2013, 15:18	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k p \cdot (q)^{i-1}=p \cdot \frac{1-q^k}{1-q} \end{eqnarray}$ dagegen ist $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^k p \cdot (q)^{i}=p \cdot \frac{1-q^{k+1}}{1-q} \end{eqnarray}$
30.03.2013, 16:56	Betchem	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh okay, habs kapiert Danke
30.03.2013, 17:04	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.
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