Dezimalstelle einer Zahl mit Exponent

20.03.2013, 17:55

sceiler

Dezimalstelle einer Zahl mit Exponent

Hallo zusammen,

ich hab folgende Aufgabe:
"Die Zahl $\begin{eqnarray*} 2^{20.996.011} - 1 \end{eqnarray*}$ ist eine der größten bekannten Primzahlen. Wie viele Dezimalstellen hat diese Zahl?
TIPP: -1 kann ignoriert werden, da dies keine große Auswirkung aufs Ergebnis hat."

Und meine Lösung/Idee:
$\begin{eqnarray*} 2^{20.996.011} |log<br /> = log(2^{20.996.011}<br /> = 20.996.011 * log(2)<br /> =6320429,1 \end{eqnarray*}$

A: Die Zahl hat 6.320.429,1 Dezimalstellen.

Ist das so richtig? Kann eigentlich ja nicht sein oder, weil die Zahl kann ja keine 1/9 Dezimalstelle haben. Einfach abrunden/aufrunden??

20.03.2013, 18:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von sceiler
Kann eigentlich ja nicht sein oder, weil die Zahl kann ja keine 1/9 Dezimalstelle haben.

Eben.

Mach dir doch mal anhand ein paar kleinerer Zahlen klar, ob du bei dieser Methode auf- oder abrunden musst, z.B. $\begin{eqnarray*} 2^7=128 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

20.03.2013, 19:32

sceiler

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Hmm hab das jetzt mit 2^7, 2^2 und 2^20 durchgespielt und komme zum Ergebnis das ich abrunden muss.

20.03.2013, 19:37

HAL 9000

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128 hat drei Dezimalstellen, andererseits ist $\begin{eqnarray*} 7\lg(2)\approx 2.11 \end{eqnarray*}$ ...

20.03.2013, 19:47

sceiler

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ach stimmt... ich hab Dezimalstellen mit Nachkommastellen verwendet. Hab mir quasi 1,28 vorgestellt. -.-

D.h. im Endeffekt aufrunden zur nächstgrößeren Zahl bzw. bei Primzahlen abrunden und dann plus 1 rechnen. also eigentlich immer aufrunden.

20.03.2013, 19:50

HAL 9000

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Mit Primzahlen hat das nix zu tun, die "kritischen" Zahlen sind allein die Zehnerpotenzen selbst. Zusammenfassend kann man aber mit der Gaußklammer (d.h. Abrundungsfunktion) schreiben:

Die positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat genau $\begin{eqnarray*} \lfloor \lg(n) \rfloor + 1 \end{eqnarray*}$ Dezimalstellen.

P.S.: Die vermeintlich auch stimmende Formel $\begin{eqnarray*} \lceil \lg(n) \rceil \end{eqnarray*}$ (d.h. mit der Aufrundungsfunktion) stimmt für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , nur leider nicht für die Zehnerpotenzen $\begin{eqnarray*} n=10^m \end{eqnarray*}$ selbst. Augenzwinkern

20.03.2013, 20:00

sceiler

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Bei den Primzahlen wird ja immer noch am Ende -1 geschrieben deshalb hab ich geschrieben plus 1 rechnen. Aber mit deiner Formel ist es jetzt klar. Dankeschön! smile

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