Norm auf einem Vektorraum und ein beschränktes Funktional

20.03.2013, 19:21

lagrange92

Norm auf einem Vektorraum und ein beschränktes Funktional

Meine Frage:
Meine Frage ist eigentlich relativ kurz und zwar, wie kann man sich eine Norm auf einem Vektorraum vorstellen?
Weiter bereitet mir Probleme: Betrachtet man ein Funktional $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ auf einem normierten Vektorraum (V,||x||), so ist dieses beschränkt, wenn $\begin{eqnarray*} K \in V \end{eqnarray*}$ ex. mit $\begin{eqnarray*} | \Phi (x)| \leq K*||x|| \forall x \in V \end{eqnarray*}$ .
Wie ist hier das mit dem Funktional zu verstehen ( Was ist das?) und was genau stellt dieses normierte x dar?

Meine Ideen:
Ich verstehe zwar die Supremumsnorm, aber habe keine Vorstlleung, wie ich das übertragen könnte.

20.03.2013, 19:27

watcher

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Hallo,

Funktional ist aus der Sprache der Funktionentheorie.
Es ist eine lineare Abbildung vom Vektorraum in den Grundkörper.

Zitat:

und was genau stellt dieses normierte x dar

Genau das: Die Norm von x.

Zitat:

wenn $\begin{eqnarray*} K \in V \end{eqnarray*}$ ex.

Garantiert nicht. Wohl eher $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ (mit der üblichen Kovention $\begin{eqnarray*} \mathbb K \in \{\mathbb R , \mathbb C \} \end{eqnarray*}$ )

20.03.2013, 19:31

Che Netzer

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RE: Norm auf einem Vektorraum und ein beschränktes Funktional

Zitat:

Original von lagrange92
Meine Frage ist eigentlich relativ kurz und zwar, wie kann man sich eine Norm auf einem Vektorraum vorstellen?

Das kannst du dir als Verallgemeinerung des Betrages vorstellen: Als Abstand zum Ursprung/zur Null im Vektorraum.

Zitat:

Wie ist hier das mit dem Funktional zu verstehen ( Was ist das?) und was genau stellt dieses normierte x dar?

Ein Funktional ist eine Abbildung in den zugrunde liegenden Körper, d.h. es ordnet einem Vektor eine (reelle/komplexe) Zahl zu.
Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \lvert\Phi(x)\rvert\leq K\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$ ist so zu verstehen:
Wenn der Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ "klein" wird, d.h. dem Ursprung näher kommt, dann wird auch die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (durch $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ) zugeordnete Zahl kleiner (betragsmäßig) – und zwar nähert sie sich (bis auf die Konstante $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ) nicht langsamer dem Ursprung als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Und umgekehrt: Wenn $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ groß wird (weit weg von der Null), dann muss auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ groß werden.

Edit: Ein Funktional muss übrigens nicht linear sein.
Diese Definition der Beschränktheit wiederum gilt nur für lineare Funktionale.

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