Funktionaldeterminante in Matrizenform

21.03.2013, 00:34

mathejunge

Funktionaldeterminante in Matrizenform

Hallo, könnte mir jemand bitte diese Gleichung als Matrix hinschreiben, ich bin ein wenig überfordert und weiß nicht über was alles noch mal summiert wird, also über j auf jeden Fall, aber was passiert mit k und i ? Die werden doch nicht nacheinander 1,2,3 oder ?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial x_{i}}{\partial u^{j}} \frac{\partial u^{j}}{\partial x_{k}} = \delta_{ik} \end{eqnarray*}$

Gruß

21.03.2013, 00:41

Che Netzer

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RE: Funktionaldeterminante in Matrizenform

Zitat:

Original von mathejunge
aber was passiert mit k und i ? Die werden doch nicht nacheinander 1,2,3 oder ?

Nein, ich verstehe das so, dass $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ fest sind.
Als Matrixgleichung würde ich das als $\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}\dx\frac\dx{\dd u}=I \end{eqnarray*}$ schreiben, wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix ist und $\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}\dx \end{eqnarray*}$ die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Allerdings gefällt mir diese Summenkonvention überhaupt nicht...

21.03.2013, 01:00

mathejunge

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Hoi, oh ich meinte in Matrixform. Also mit Zeilen und Spalten, würde gerne wissen wie das aussieht...

Gruß
Gute Nacht noch Wink

21.03.2013, 08:49

Che Netzer

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Meinst du das hier (im Dreidimensionalen)
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}&\frac{\partial u_1}{\partial x_2}&\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\\\frac{\partial u_2}{\partial x_1}&\frac{\partial u_2}{\partial x_2}&\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\\\frac{\partial u_3}{\partial x_1}&\frac{\partial u_3}{\partial x_2}&\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\end{pmatrix}\,? \end{eqnarray*}$
Wenn nicht, solltest du deine Frage etwas präziser stellen...

21.03.2013, 09:00

Ehos

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Angenommen man hat drei Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ und differenziert jede Koordinate $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ nach jeder Koordinate $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt dies 9 Ausdrücke $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial x_i}{\partial x_j} \end{eqnarray*}$ . Es ist klar, dass diese Ableitung im Fall i=j den Wert 1 ergibt und im Fall $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ den Wert 0. In Matrixform heißt das

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \tfrac{\partial x_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial x_1}{\partial x_2} & \tfrac{\partial x_1}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial x_2}{\partial x_1} & \tfrac{\partial x_2}{\partial x_2} & \tfrac{\partial x_2}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial x_3}{\partial x_1} & \tfrac{\partial x_3}{\partial x_2} & \tfrac{\partial x_3}{\partial x_3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daran ändert sich nichts, wenn man die Koordinaten als abhängig von anderen Koordinaten $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,u_3 \end{eqnarray*}$ betrachtet, also

$\begin{eqnarray*} x_1(u_1, u_2,u_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2(u_1, u_2,u_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3(u_1, u_2,u_3) \end{eqnarray*}$

Wenn man dies wie oben ableitet, muss man zwar die Kettenregel benutzen, aber das Ergebnis bleibt wie oben. Das Matrixelement i=2, j=3 lautet z.B. wieder

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial x_2}{\partial x_3}=\tfrac{\partial x_2}{\partial u_1}\tfrac{\partial u_1}{\partial x_3}+\tfrac{\partial x_2}{\partial u_2}\tfrac{\partial u_2}{\partial x_3}+\tfrac{\partial x_2}{\partial u_3}\tfrac{\partial u_3}{\partial x_3}=0 \end{eqnarray*}$ usw.

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