Differentialgleichungen

21.03.2013, 10:43

DieWahreBorussia

Differentialgleichungen

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche mich gerade an den Differentialgleichungen. Folgende Aufgaben versuche ich zu lösen.

1. $\begin{eqnarray*} y'-k*y/x = 0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x*y'-(1+y) = 0 \end{eqnarray*}$

Zum einen stelle ich mir die Frage, wieso löse ich die Differentialgleichung bzw. was habe ich vom Ergebnis?

Meine Ideen:
Zu Nr. 1:

[latex]
- für y' dy/dx

dy/dx-k*y/x = 0

- die x und y auf eine Seite bringen

1/y * dy = k*1/x*dx

- Das Integral bilden

lny = k*lnx*+C

-Nach y auflösen

y = k*x+C

Blöderweise ist in den Lösungen folgendes Ergebnis angegeben:

y= C*x^k

Wo ist mein Fehler und wofür benötige ich das Ergebnis?

zu 2.

x*y'-(1+y) = 0

- y' mit dy/dx ersetzen

x*dy/dx-(1+y) = 0

- die x und y auf eine Seite bringen

1/(1+y)*dy = 1/x *dx

- Integral bilden

Jetzt weiß ich nicht wie ich von der linken Seite das Integral bilde.

Danke im Voraus.

21.03.2013, 10:55

Che Netzer

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RE: Differentialgleichungen

Zitat:

Original von DieWahreBorussia
lny = k*lnx*+C

-Nach y auflösen

y = k*x+C

Was hast du denn da gemacht?

Zitat:

Wo ist mein Fehler und wofür benötige ich das Ergebnis?

Ob die DGL irgendeine praktische Bedeutung hat, weiß ich nicht.
Brauchst du immer eine Verwendung der Lösung?

Zitat:

1/(1+y)*dy = 1/x *dx

- Integral bilden

Jetzt weiß ich nicht wie ich von der linken Seite das Integral bilde.

Du könntest $\begin{eqnarray*} z=1+y \end{eqnarray*}$ substituieren. Eigentlich solltest du das aber auch so schon leicht integrieren können. Übe das ggf. nochmal.

21.03.2013, 11:27

DieWahreBorussia

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RE: Differentialgleichungen
Danke für deine Antwort!

- Also an dieser Stelle:

$\begin{eqnarray*} lny = k*lnx*+C -Nach y auflösen y = k*x+C \end{eqnarray*}$

Habe ich e^() genommen um die ln-Funktion wegzubekommen.

Damit fällt doch das ln weg!?

- Wozu benötige ich das Ergebnis:
Nein, die Aufgabenstellung ist einfach lösen Sie die Gleichung. ;-)

- Ich soll dann quasi mit hilfe der Substituion die Stammfunktion bilden korrekt? Das sollte ich sicherlich nochmal üben!

21.03.2013, 11:30

Che Netzer

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RE: Differentialgleichungen

Zitat:

Original von DieWahreBorussia
Habe ich e^() genommen um die ln-Funktion wegzubekommen.

Damit fällt doch das ln weg!?

Aber du kannst nich überall einfach das $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ weglassen.
Du erhältst $\begin{eqnarray*} y=\mathrm e^{k\ln x+c} \end{eqnarray*}$ .

21.03.2013, 11:30

DieWahreBorussia

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Danke für deine Antwort!

- Also an dieser Stelle:

lny = k*lnx*+C

-Nach y auflösen

y = k*x+C

Habe ich e^() genommen um die ln-Funktion wegzubekommen.

Damit fällt doch das ln weg!?

- Wozu benötige ich das Ergebnis:
Nein, die Aufgabenstellung ist einfach lösen Sie die Gleichung. ;-)

- Ich soll dann quasi mit hilfe der Substituion die Stammfunktion bilden korrekt? Das sollte ich sicherlich nochmal üben!

21.03.2013, 11:33

DieWahreBorussia

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RE: Differentialgleichungen

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von DieWahreBorussia
Habe ich e^() genommen um die ln-Funktion wegzubekommen.

Damit fällt doch das ln weg!?

Aber du kannst nich überall einfach das $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ weglassen.
Du erhältst $\begin{eqnarray*} y=\mathrm e^{k\ln x+c} \end{eqnarray*}$ .

Das wäre doch dann das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} y = x^(k+C) \end{eqnarray*}$

und jetzt kann ich das C runterholen weil es quasi nen C ~ ist?

21.03.2013, 11:37

Che Netzer

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RE: Differentialgleichungen
Das wäre erst einmal $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{k\ln x}\mathrm e^c \end{eqnarray*}$ .
Aber ja, mit $\begin{eqnarray*} \tilde c:=\mathrm e^c \end{eqnarray*}$ hast du dann die Form aus der Musterlösung.

21.03.2013, 11:40

DieWahreBorussia

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RE: Differentialgleichungen
Danke! Das hat mir sehr geholfen! Gott

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