Integriere den Tangens

21.03.2013, 16:18

Magnus87

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Integriere den Tangens

Hallo,

Ich will den Tangens Integrieren, habe dabei aber Probleme:

$\begin{eqnarray*} \int\! tan \, dx \end{eqnarray*}$
den ersten Schritt habe ich bereits herausgefunden:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{sin}{cos} \, dx \end{eqnarray*}$

welche Entscheidung wäre nun als Nächstes Zielführend?
welche Alternativen gibt es und welche Aussagen brauche ich für eine Umformung?

LG

21.03.2013, 16:20

Equester

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Nutze die Möglichkeiten der Substitution: u=cos(x)

21.03.2013, 16:25

Magnus87

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ok mache ich, kannst du mir sagen wie du darauf gekommen bist? (bzw welches Gesetz gilt)

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin}{u} \, dx \end{eqnarray*}$

welche Entscheidung wäre nun Sinnvoll. ich denke einen Ausdruck einsetzen, damit ich kürzen kann.

21.03.2013, 16:29

Equester

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Beim Sinus fehlt das Argument.
Das hilft dir zu erkennen, dass wir die Substitution so nicht gebrauchen können.
Wir haben zum einen die Variable u und die Variable x, und es soll bisher noch nach x integriert werden.
Das heißt du würdest u als Konstante betrachten. Das geht gar nicht!

Vervollständige die Substitution.

Und wie man darauf kommt -> Erfahrung.
Ein Gesetz oder ein Rezept mag ich hier nicht zu geben.
Arbeite ein wenig mit sowas und es kommt von allein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 16:32

Magnus87

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na gut

smile

(Übrigens danke für die Hilfe)

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Ich denke das meins du mit Argument.

(kannst du mir eine kurze Begriffsdefinition für Argument geben?)

21.03.2013, 16:39

Equester

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Ja, so ist es. Das x ist das Argument des Sinus.

Du hast jetzt einfach dx durch "du" ersetzt.
Du solltest dir nochmals überlegen, wie man eigentlich eine Substitution macht. Schlage es bei Bedarf nach. Meist ist es nicht so einfach es schlicht auszutauschen^^.

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21.03.2013, 16:57

Magnus87

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Zitat:

Original von Magnus87
na gut smile

smile

(Übrigens danke für die Hilfe)

u= cos
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{u} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich denke das meins du mit Argument.

21.03.2013, 16:59

Equester

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Ja, das ist soweit richtig. Auch wenn du wieder dx stehen hast. Aber das ist nicht alles. Siehe meinen obigen Beitrag zur Integration zweier verschiedener Variablen...

21.03.2013, 17:24

Magnus87

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Zitat:

Original von Equester
Ja, das ist soweit richtig. Auch wenn du wieder dx stehen hast. Aber das ist nicht alles. Siehe meinen obigen Beitrag zur Integration zweier verschiedener Variablen...

gibt es einein fachbegriff dafür

21.03.2013, 17:47

Equester

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Jenen, welcher schon mehrfach gefallen ist^^.

Substitution. Du kennst diese doch? Immerhin hast du ohne zu fragen schon richtig begonnen. Du solltest nur nochmals im Schulbuch genau nachschlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 19:17

Bautschi

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Grüße!

Ich habe gerade versucht das Beispiel durch die Substitution
$\begin{eqnarray*} u = cos(x) \end{eqnarray*}$ zu lösen... ich wüsste nicht wieso man diese Substitution verwenden sollte?!

am besten ist:
$\begin{eqnarray*} u = tan(x) \end{eqnarray*}$
und anschließend folgendes verwenden
$\begin{eqnarray*} \int \frac{g'(x)}{g(x)}dx = ln|g(x)| \end{eqnarray*}$

Hoffe ich konnte weiterhelfen!

Viel Spaß beim Rechnen

21.03.2013, 20:06

Equester

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Yup, das wäre eine Alternativ, die ich noch angebracht hätte.
Wobei ich glaub noch ein wenig was anderes meine. Warum willst du tan(x)=u substituieren?
Den Weg seh ich grad nicht verwirrt

verwirrt

.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{g'(x)}{g(x)}dx = ln|g(x)|+c \end{eqnarray*}$

Da ist noch ein kleiner Schritt vorher nötig, wenn man das direkt auf $\begin{eqnarray*} \int\!\frac{sin}{cos} \, dx \end{eqnarray*}$ anwenden will. Dachte Substitution wäre augenfälliger und in einem Post durch, aber Magnus muss das noch nachlesen, wie das funzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 20:11

Magnus87

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also kannst du nicht den nächsten umformungsschritt machen?

21.03.2013, 20:13

Equester

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u=cos(x)

du=?

So solltest du es in Erinnerung haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 20:20

Bautschi

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also ich meinte:

tan(x) = u
arctan(u) = x
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+u^2} * du = dx \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \int\frac{u}{1+u^2}*du = \frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+u^2}*du =... \end{eqnarray*}$

Hatte vorhin bei der Formel die Integrationskonstante vergessen.

21.03.2013, 20:20

Magnus87

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aaaaaaaaaachsooooo moment

21.03.2013, 20:23

Magnus87

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin}{u} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{u} \, \frac{1}{sin(x)}du \end{eqnarray*}$

21.03.2013, 20:26

Bautschi

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Ja bin auch grad draufgekommen wie deine Subst. gemeint war... gefällt mir eigentlich sogar besser wie mein Weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2013, 20:29

Equester

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@Bautschi: Das hatte ich nicht im Sinn. Das deinige halte ich um ehrlich zu sein für viel zu kompliziert. Nicht mal als Alternative :P. Schon deshalb, weil man die Ableitung des arctan kennen muss.

Magnus zeigt dir sicher nacher noch die Alternative die ich im Sinne hatte. Mit der gleichen Idee wie der deinen, aber wesentlich einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

@Magnus: Jetzt passt es fast Freude

Freude

.
Bedenke nur noch, das die Ableitung des cos(x) der -sin(x) ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Dann integriere das mal.

Anschließend hast du noch eine Alternative gefordert, die du Bautschi vorstellen kannst. Aber eins nach dem anderen.

Edit: Umso besser, Bautschi Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 20:29

Magnus87

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin}{u} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{u} \, \frac{1}{sin(x)}du \end{eqnarray*}$

----

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{u} \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(cos(x)) \end{eqnarray*}$

21.03.2013, 20:32

Equester

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@Magnus: Ganz gut Freude

Freude

. Fehlt das eben angemerkte Minus:

Außerdem passen mir noch zwei weitere Sachen nicht.
$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{u} \, du=-ln(\color{red}|\color{black}cos(x)\color{red}|\color{black})+\color{red}c\color{black} \end{eqnarray*}$

Wenn du integrierst und den Logarithmus erhältst ist der Betrag zu setzen. Außerdem die Integrationskonstante...immerhin haben wir ein unbestimmtes Integral Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 20:34

Magnus87

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super danke^^

21.03.2013, 20:38

Equester

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Nana, du wolltest noch eine Alternative.

Die Substitution ist ein Mittel, das man wohl als ersters Probieren würde. Doch gibt es den noch von Bautschi angeschnittenen Weg.

Bleiben wir mal bei deiner ersten Umformung:
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{sin}{cos} \, dx \end{eqnarray*}$

Und nehmen nun die Idee von Bautschi: $\begin{eqnarray*} \int \frac{g'(x)}{g(x)}dx = ln|g(x)|+c \end{eqnarray*}$

Das geht schneller...doch muss man einen kleinen Trick machen. Du kommst selbst drauf?
Bedenke meine Verbesserung bzgl deiner Ableitung des Cosinus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 20:52

Magnus87

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puh ne ich komme gerade nicht drauf Big Laugh

Big Laugh

21.03.2013, 21:12

Equester

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Dir ist bewusst, dass wir im Zähler den -sin(x) haben wollen?
Dann tricksen wir das so hin -> 1*sin(x)=-1*(-1)sin(x)=-1*(-sin(x)).

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{sin}{cos} \, dx =-\int\!\frac{-sin}{cos} \, dx \end{eqnarray*}$

Nun direkt die Formel anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.03.2013, 21:19

Magnus87

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$\begin{eqnarray*} \int \frac{g'(x)}{g(x)}dx = ln|g(x)|+c \end{eqnarray*}$

quote]

wow ok ja weil das eine die ableitung ist, aber wie kommt man auch sowas^^ da wäre ich nie drauf gekommen abe rman kann ja auch 2 glieder ersetzen.

21.03.2013, 21:22

Equester

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Wie meinste den letzten Part?

Für den ersten Teil gilt wieder -> Übung macht den Meister und bringt die Erfahrung Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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