Vollständige Induktion für die n-te Ableitung

21.03.2013, 19:08

derGrieche_tum

Vollständige Induktion für die n-te Ableitung

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche mich heute den ganzen Tag schon an dem Verständnis der vollständigen Induktion. Ich habe hier eine Aufgabe aus dem GOP Heft die ich versuche zu lösen. So schaut des aus:
$\begin{eqnarray*} f^{n} (x) = (n-1)!\left(\frac{(-1)^{n}}{(1+x)^{n}} - \frac{1}{(1-x)^{n}}\right) \end{eqnarray*}$
Einfache Zahlenfolgen zu beweisen war noch recht einfach. Aber das ist jetzt echt n bisschen kompliziert geworden. Kann mir da jemand weiter helfen? :-)

Ich denke/ hoffe, dass meine Ansätze in die richtige Richtung gehen. Aber ich weiß nicht, woran es hängt. Weiter komm ich nicht. Was muss ich tun? Kann man das so als Ergebnis stehen lassen bei dem i.A. ? Und der Induktionsschritt ... Da bleib ich beim Zusammenfassen stecken. Das hoch n + 1 irritiert mich ein bisschen :/

Meine Ideen:
i.A. n =1:
wenn ich n = 1 setze, dann
$\begin{eqnarray*} f^{1}(x) = (0)! \left(\frac{(-1)}{(1+x)} - \frac{1}{(1-x)}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => (0)! = 1 \end{eqnarray*}$ oder? Also kann ich es ja weglassen, dann stört es mir vor der Klammer nicht.
also, $\begin{eqnarray*} \left(\frac{(-1)}{(1+x)} - \frac{1}{(1-x)}\right) \end{eqnarray*}$

i.S. n -> n+1:
$\begin{eqnarray*} f^{n+1} (x) = (n)!\left(\frac{(-1)^{n+1}}{(1+x)^{n+1}} - \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

Edit(Helferlein): diverse Latexklammern ergänzt. Bitte in Zukunft sorgfältiger vorgehen.

21.03.2013, 19:22

Leopold

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Du hast überhaupt nicht gesagt, welche Funktion vorliegt, über die es etwas zu beweisen gilt. Ist das

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln \frac{1-x}{1+x} \, , \ \ -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ ?

Die Ordnung der Ableitung wird übrigens in Klammern geschrieben. Also z.B. $\begin{eqnarray*} f^{(2)}(x) \end{eqnarray*}$ .

24.03.2013, 17:39

derGrieche_tum

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Vollständige Induktion
Hi,

ich entschuldige mich! Du hast natürlich recht.

Hier einmal die Aufgabe 1:1

Gegeben ist die beliebig oft differenzierbare Funktion f:\left(-1,1\right) -> \mathbb R , f(x) = ln(1-x) - ln(1+x).
Begründen Sie mit vollständiger Induktion die folgende Formel für die n-te Ableitung f^{(n)} , n \in \mathbb N ,

f^{(n)} (x) = (n-1)! \left(\frac{(-1)^{(n)}}{(1+x)^{(n)}} - \frac{(1)}{(1-x)^{(n)}} \right)

24.03.2013, 17:42

derGrieche_tum

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RE: Vollständige Induktion
Sry latex Klammern vergessen:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)} (x) = (n-1)! \left(\frac{(-1)^{(n)}}{(1+x)^{(n)}} - \frac{(1)}{(1-x)^{(n)}} \right) \end{eqnarray*}$

25.03.2013, 09:47

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion für die n-te Ableitung

Zitat:

Original von derGrieche_tum
i.A. n =1:
wenn ich n = 1 setze, dann
$\begin{eqnarray*} f^{1}(x) = (0)! \left(\frac{(-1)}{(1+x)} - \frac{1}{(1-x)}\right) \end{eqnarray*}$

Da hast du noch nicht gezeigt, daß das gleich der Ableitung von f(x) ist.

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