Volumen

22.03.2013, 08:22

MarioP

Volumen

Hallo,

wie kann ich das Volumen eines Körpers mit dreieckigen Grundflächen bestimmen, dessen eine Seite kürzer ist als die anderen beiden Seitenlängen.

Siehe Bild.

Danke Mario

22.03.2013, 08:27

gast2011

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RE: Volumen
Da gerade Kanten würde ich eine Durchschnittsfläche beider Enddreiecke berechnen und mit der Prisma(-höhe/)-breite multiplizieren.

22.03.2013, 08:36

MarioP

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RE: Volumen
gibt es für die Aufgabe eine integrale Lösung?

22.03.2013, 11:47

HAB

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RE: Volumen

Zitat:

gibt es für die Aufgabe eine integrale Lösung?

Ja.

Man müsste aber noch wissen, ob die beiden Dreiecksflächen parallel zueinannder stehen.
Ich gehe davon aus, dass die h´s die Höhen der Dreiecke angeben.

22.03.2013, 12:04

MarioP

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RE: Volumen
ja h ist die Dreieckhöhe.

Die Dreiecksflächen sind parallel zu einander.

22.03.2013, 12:49

HAB

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RE: Volumen
Die typische Querschnittsfläche an der Stelle x hat die Fläche
$\begin{eqnarray*} A(x)=\frac{1}{2} \cdot a\cdot h(x) \end{eqnarray*}$
Somit ergibt sich für das Volumen
$\begin{eqnarray*} V=\int_0^l \! A(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Siehe auch anliegende Skizze
Entschuldigung die Steigung in der Skizze ist falsch.

richtig müsste sie lauten:
$\begin{eqnarray*} \frac{h_{2} -h_{1} }{l} \end{eqnarray*}$

22.03.2013, 12:58

MarioP

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RE: Volumen
ist lange her mit der Integralrechnung.
Kannst Du mir die Formel mit h1 und h2 auflösen?

22.03.2013, 13:16

HAB

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RE: Volumen
Da außer dem x im Integranden nur Konstanten stehen, gilt:
$\begin{eqnarray*} V=\int_0^l \! (\frac{1}{2} \cdot a\cdot (\frac{h_{2} -h_{1} }{l}\cdot x+ h_{1})) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V= \frac{1}{2} \cdot a\cdot \frac{h_{2} -h_{1} }{l}\cdot\int_0^l \! x \, dx +\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{1}\int_0^l \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

22.03.2013, 14:29

MarioP

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RE: Volumen
brauche noch Hilfe, bekomme die Auflösung für l=4 nicht hin

22.03.2013, 16:50

HAB

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RE: Volumen
Die Auswertung ergibt:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{4} \cdot a\cdot (h_{2}+ h_{1} )\cdot l \end{eqnarray*}$

Zwischenschritte und Berechnen für konkrete Zahlen müsstest du selbs können.

Anmerkung
(Der von dir gewünschte Weg über das Integral ist natürlich mit Kanonen nach Spatzen geschossen.
Der von gast2011 oben vorgeschlagene Weg ist bei diesem Problem deutlich vorzuziehen.)

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