Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.

Neue Frage »

Zuey Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Meine Frage:
Hallo,

ich möchte zu folgender Funktion das unbestimmte Integral bestimmen:




Meine Ideen:
Meine Idee war es für x eine sinnvolle Funktion zu wählen und zwar exp(x)
Dann gilt:



Ich weiß zwar dass sich die Integrationsgrenzen ändern, aber dies sollte beim unbestimmten Integral keine Rolle spielen? Aber wenn man das neue substituierte Integral berechnet bekommt man ein falsches Ergebnis (laut wolframalpha).

Wo liegt mein Fehler?
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ich hab mir deine Substitution nicht ernsthaft angeschaut, aber schaut irgendwie komisch aus...

Ich würde mit partieller Integration versuchen mit dem Hinweis, dass du schreiben kann...
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Frage ist eben, ob man mit dieser Substitution weiter kommt. Des Weiteren solltest du bei einer Substitution auch eine andere Variable benutzen. Z.B.

Mit hat geholfen erstmal zu vereinfachen:



Jetzt kann man mittels partieller Integration weitermachen mit z.B. und

Grüße.
Zuey Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist natürlich wahr dass ich das etwas lax formuliert habe, und auch danke für deinen Tipp. Die Vereinfachung ist wirklich besser. Allerdings würde ich dennoch gerne wissen, was bei mir falsch war. Ich kann einfach keinen Fehler entdecken.
Wenn f(x)=log(x^2)/x^2 und die zweite Funktion g(x)=exp(x) ist, dann muss dass doch so stimmen... verwirrt
Carlos Villa Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn man so vereinfacht hat wie Kasen75, kann man doch einfach die das Integral lösen ohne weitere Umformungen etc.
Und als Ergebnis habe ich auch das raus, was WolframAlpha ausspuckt.




Das kann man dann einfach "aufleiten" und erhält besagte Lösung aus WolframAlpha.

Also muss man weder substituieren noch part. integrieren, seh ich das so richtig ? :P
Ich gebe übrigens keine Gewähr auf die Richtigkeit meiner Hilfe.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Zitat:
Original von Zuey

Den letzten Schritt verstehe ich jetzt null komma gar nicht. Du hast (ich arbeite jetzt mit x=e^u, siehe Hinweis von Kasen):



Sogesehen ist diese Substitution, auch man das natürlich machen kann, ziemlich witzlos. Denn partielle Integration brauchst du ja trotzdem auch noch.

@Carlos Villa: Ich weiß nicht, was du mit "lösen ohne weitere Umformungen" meinst. Du hast hier ein Produkt vorliegen und man darf bei einem Produkt die Faktoren nicht einzeln integrieren. Genau so, wie man das auch beim Ableiten nicht darf (siehe Produktregel).
 
 
Zuey Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Original von Zuey

Den letzten Schritt verstehe ich jetzt null komma gar nicht. Du hast (ich arbeite jetzt mit x=e^u, siehe Hinweis von Kasen):


Im letzten Schritt möchte ich nocheinmal verdeutlichen, dass ich hier "richtig" substituiert habe.



Ja, auf das bin ich auch gekommen, auch wenn bei mir x statt der u standen, ja ich weiß es ist so besser Augenzwinkern
Aber wenn man nun dieses Integral nimmt und bei Wolfram durchschickt, bekommt man eine völlig andere Stammfunktion, als wenn man das Ursprüngliche Integral nimmt. Abgesehen davon, ist doch diese Form nicht witzlos? Ich finde sie leichter integrierbar :P
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Zitat:
Original von Zuey
Aber wenn man nun dieses Integral nimmt und bei Wolfram durchschickt, bekommt man eine völlig andere Stammfunktion, als wenn man das Ursprüngliche Integral nimmt.

Ich erhalte nach anschließender Rücksubstitution genau das gleiche. Wenn du willst, dass wir deinen Fehler finden, wirst du wohl nicht umhin kommen, deine Rechnung zu posten.

Zitat:
Original von Zuey
Abgesehen davon, ist doch diese Form nicht witzlos? Ich finde sie leichter integrierbar

Okay, wenn du das einfacher findest, kannst du das ruhig so machen. Ich hätte mir diesen zusätzlichen Aufwand gespart. Geschmackssache. Solange du alles richtig machst, kannst du ja substituieren, was du willst. Das kann dir ja keiner verbieten.
Zuey Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Es gibt keine "Rechnung" in dem Sinn. Genau wie du habe ich folgendes festgelegt:
x=exp(u)
f(x)=log(x^2)/x^2

Wenn x einsetzt und dann noch mit der Ableitung von x (also wieder exp(u)) mutliplziert kommt man genau auf jenes Integral welches auch du hier hingeschrieben hast:



Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Zitat:
Original von Zuey

Dieses Integral muss doch jetzt erst einmal gelöst werden. Wieso gibt es keine Rechnung? verwirrt
Zuey Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Original von Zuey

Dieses Integral muss doch jetzt erst einmal gelöst werden. Wieso gibt es keine Rechnung? verwirrt


Meinst du mit gelöst das es integriert werden muss? Oder dass die Substitution so "gerechtfertigt" war?
Ich geh mal davon aus du redest jetzt davon zu integrieren.
Also gem. Wolframalpha ist





Wir habne also zwei völlig unterschiedliche Stammfunktionen. Also muss doch die Substitution falsch sein?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Wenn du bei einem unbestimmten Integral eine Substitution durchführst, ist nach der Integration doch noch eine Rücksubstitution durchzuführen. Es schafft nur Verwirrung, wenn du bei einer Substitution bei dem x bleibst. Integration nach u liefert:



Und jetzt kommt die Rücksubstitution. Ersetze also gemäß deiner Substitutionsvorschrift jedes u wieder durch x, also



Dann kommst du auch auf das richtige Ergebnis.

Dass du bei deiner "Rechnung" auf zwei unterschiedliche Stammfunktionen kommst, ist doch logisch, weil schon die Integranden von Grund auf verschieden sind.

Vielleicht liest du dich in die Integralsubstitution nochmal ein bisschen ein. Da gibt es wohl noch Verständnisschwierigkeiten.

Nebenbei: Wozu überhaupt diese Substitution, wenn du dir sowieso alles von Wolfram vorkauen lässt? verwirrt
Zuey Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Das mit der Rücksubstitution wusste ich nicht. Substitution hatten wir bisher nur verwendet um bestimmte Integrale zu verwenden. Ich dachte wegen der Identität


das beide Integrale nunmal das selbe sind, da es ja ein unbestimmtes Integral ist un die Grenzen egal sind. Wenn nun auch beim unbestimmten Integral die Rücksubstitution von nöten ist ändert natürlich alles Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbestimmtes Integral durch Substitution. Aufgabe.
Ja, beim bestimmten Integral entfällt die Rücksubstitution, weil man ja auch die Integrationsgrenzen anpasst. Das ist im Grunde ein und das selbe. Ich könnte auch bei einem bestimmten Integral hergehen und erst einmal nur unbestimmt integrieren. Dann bleibt es am Ende bei den "alten" Grenzen. Wenn ich



habe, dann schau ich mir erstmal



an, substituiere und erhalte



Nun Rücksubstitution und ich erhalte als Stammfunktion des ursprünglichen Integranden und wenn ich die Grenzen einsetze, erhalte ich .

Und auf genau das komme ich auch, wenn ich direkt



rechne. Vielleicht hilft das noch ein bisschen, die Analogie zu sehen. Augenzwinkern

Ist also egal, ob man eine Rücksubstitution durchführt, oder die Grenzen mitsubstituiert. Kommt logischerweise immer das gleiche raus. Wofür man sich entscheidet, ist egal.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »