Ebene - parameterform, normalform - Seite 2

23.03.2013, 11:35

Tipso

Es gibt drei Formen die Ebene anzuschreiben.
Wenn wir eine Form haben, lassen sich alle drei anderen ausrechnen nehme ich an?

Wie erhalte ich nun die hessische Abstandsformel und wie komme ich daraufhin zur Parameterform damit und von der Parameterform wieder in die koordinatenform.

Warum haben Ebenen 3 Werte? x, y, z

Denn ich kann mit zwei Werten schon zwei Richtungsvektoren bestimmen, welches reichen müsste um eine Ebene aufzustellen.

lg

23.03.2013, 14:07

Tipso

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Hier ein gutes Beispiel, da ich gerade dabei bin es nachzulernen, es aber nicht ganz verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \left(\vec{x}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Hier wurde eckige klammer.

Hier ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Stützvektor, entspricht graphisch?

Warum sind die alternativen Schreibweisen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \vec{x}+1 = 0 \end{eqnarray*}$

bzw.

koordinatenform

-2x - y + 3 = -1

Was passiert hier mit meinem $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Warum bringe ich meine 1 auf die andere Seite?

lg

31.03.2013, 18:12

Tipso

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Zitat:

koordinatenform

-2x - y + 3 = -1

Was passiert hier mit meinem

Warum bringe ich meine 1 auf die andere Seite?

Dieser Teil wäre schon sehr interessant.
Warum brauche ich diese Form überhaupt?

Ich erfahre damit, ob ein Punkt in der Ebenen liegt?

lg

03.04.2013, 00:33

mYthos

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Sind die Fragen vom 23.3. noch aktuell?
Ich hoffe nicht, denn inzwischen hast du ja einiges erfahren ...

In der Koordinatenform ist es besonders leicht, eine Punktprobe zu machen.
Auch den Normalvektor kann man dort ablesen.

mY+

03.04.2013, 00:46

Tipso

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Hi,

Ich versuche meine Fragen zu beantworten.

Es gibt drei Formen die Ebene anzuschreiben.
Wenn wir eine Form haben, lassen sich alle drei anderen ausrechnen nehme ich an?

Ja, ist möglich.
In Erinnerung ist mir die Parameterform - Stützvektor + 2 Richtungsvektoren + Normalenform, Koordinatenform

Wie erhalte ich nun die hessische Abstandsformel und wie komme ich daraufhin zur Parameterform damit und von der Parameterform wieder in die koordinatenform.

Die hessische Abstandformel ist eine Formel.
Diese braucht man um Abstände zu berechnen.
Dass man von da auf Parameterform kommt ist mir neu.

Warum haben Ebenen 3 Werte? x, y, z

Weil sie 3-Dimensional sind. Dabei kann auch ein Wert 0 sein, also wir bleiben auf der
koordinatenachse. Diesen Trick nützt man zb. um von Ebenen Normalvektoren zu erhalten. Man nimm einen Richtungsv. - setzt eine Variable 0 und kann durch vertauschen der anderen Variablen und umtauschen des Vorzeichens einer Variablen einen Normalv. der Ebene erhalten.

Denn ich kann mit zwei Werten schon zwei Richtungsvektoren bestimmen, welches reichen müsste um eine Ebene aufzustellen.

Ich brauche einen Ortv. + 2. Richtungsv. um eine Ebene aufzustellen.
Mit 3 gegebenen Punkten ist dies zu bewerkstelligen.

Andere Fragen in einem 2 Beitrag.

lg

03.04.2013, 00:51

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Hier ein gutes Beispiel, da ich gerade dabei bin es nachzulernen, es aber nicht ganz verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \left(\vec{x}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Hier wurde eckige klammer.

Es handelt sich hier um die Normalenform.
Der Vektor x stellt den Variablenvektor dar.
Minus einem Punkt der Ebene.
Der Vektor außerhalb der klammer ist der Normalvektor.
Hier ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Stützvektor, entspricht graphisch?

Es ist ein beliebiger Punkt auf der Ebene.
Beliebt ist der Uhrsprungspunkt. Begründung ..

Warum sind die alternativen Schreibweisen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \vec{x}+1 = 0 \end{eqnarray*}$

Wir wären hier in der normalenform. Wenn wir dies ausrechnen, gelangen wir zur koordinatenform.

koordinatenform

-2x - y + 3 = -1

Was passiert hier mit meinem $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Warum bringe ich meine 1 auf die andere Seite?

Weil ich die klammer ausmultipliziere. Auf der rechten Seite den skalaren Produkt bilde, wie auf der linken Seite.
Mir ist dabei ein Fehler passiert, es fehlt das "z" nach 3.

lg

03.04.2013, 01:06

mYthos

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Zur Hesse'schen Normalform solltest du dich noch näher einlesen.
Darin wird der Normalvektor auf die Länge 1 gebracht (d.h. "normiert").
Der Sinn liegt darin, dass man mit diesem dann den Normalabstand eines Punktes von der Ebene sozusagen "messen" kann.

Zitat:

So stimmt die Gleichung nicht.
Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \left[\vec{x} \color{red}- \color{black} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0 \end{eqnarray*}$

Die anderen Sachen stimmen soweit bzw. kann man mal so lassen.

mY+

03.04.2013, 01:12

Tipso

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freut mich, dass ich mich doch etwas gebessert habe, obwohl da noch viel Luft nach oben ist. smile

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