Ebene - parameterform, normalform

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene - parameterform, normalform
Hi,

Es gibt diese zwei Arten von Ebenen.

Es lässt sich auch von der einen auf die andere Art springen.

Manchmal wird aber eine Ebene auch einfach durch eine Gleichung gegeben.
Wie heißen solche Ebenen?
Was ist an diesen besonders bzw. wie erhalte ich von diesen Angaben die nötigen Angaben?

Beispiel:

Ebene = x + z = 12

Ebene = x + y - z = 5

lg
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene - parameterform, normalform
Deine beiden Ebenen sind in der so genannten Koordinantenform gegeben. Ein großer Vorteil an dieser Darstellung ist die leichte Handhabung. D.h. du kannst damit z.B. ziemlich leicht prüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt oder nicht. Des weiteren kannst du auch sehr leicht schauen auf welcher Seite der Ebene sich ein Punkt befindet der nicht in der Ebene liegt.
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe aber noch nicht ganz, wie ich von dieser Form auf eine andere Form komme.

Ich habe nur über die parameter und normalform was gefunden.
Werde mich mal dazu einlesen. Freude
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was benötigt man denn für die Parameterform?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

1 punkt

2x richtungsvektoren

2 parametervariablen


dann gbts ja noch ebenen mit 2 werten und 3 werten

lassen sich diese überscgnewiden.


ich meine vektoren mit x y oder x y z.

lg
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht habe ich mich falsch ausgedrückt aber wie viele Punkte benötigt man um eine Ebene in Parameterform aufzustellen?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

3 Punkte
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast du nun eine Idee wie man von der Koordinatenform in die Parameterform gelangt?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Leider noch nicht ganz. verwirrt

Ich weiß ungefähr wie ich von normal in para und von para in die normale form

dafür brauche ich skalarprodukt + kreuzprodukt.

lg
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du für die Parameterform drei Punkte benötigst, dann bastel dir doch einfach drei Punkte mit der Koordinatenform. Augenzwinkern
Nun eine Idee?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aber nur 3 Werte, dazu macht mir das Ergebnis der koordinatenform Sorgen.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst doch quasi Werte in die Koordinatenform einsetzen und dir somit drei Punkte basteln mit denen du anschließend die Parameterform aufstellen kannst.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ein Beispiel.

Ebene = x + y - z = 5


Diese Ebenengleichung sagt mir was?

Mich irritiert vor allem = 5.

Was wäre hier = 0.


Wie erhalte ich daraus Vektoren bzw. Punkte.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Schöner ist eigentlich der Ausdruck diese Form nennt sich auch Achsenabschnittsform und es lässt sich direkt die Schnittpunkte mit den Achsen ablesen.

Um Punkte zu erhalten musst du dir für und jeweils Werte ausdenken die diese Gleichung erfüllen. Hast du eine Idee welche Punkte das tun?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.

Ich frage mich, wie es bei:



aussieht.

Wofür ich diese Form benötige?

--------------------------------------------

1+1-1 = 1

2+1-2 = 1

3-1-1 = 1

Im letzten Fall wäre y = -1, z = 1

Was erhalte ich dadurch?
Einen Punkt?

lg
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch für x,y und z jeweils Werte eingesetzt. Diese Werte bilden deinen Punkt. Wie lautet demnach ein Punkt?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist allerdings kein Punkt sondern ein Vektor.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das kann doch nicht so schwer sein Werte zu finden die erfüllen. verwirrt
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

[/quote]
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf so etwas? Du musst doch nur drei Zahlen finden die diese Gleichung erfüllen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

1 + 1 - 1 = 1
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, was haben wir demnach für einen Punkt?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

1
1
-1
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, ich habe null plan wie ich nun dies in einen Punkt verarbeite.

Dazu bin ich sehr verunsichert.

Ich hätte auf:

x
y
-z

getippt.

lg
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs.


X(1|1|-1)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

es ist immer wieder erstaunlich, dass Schüler aus doppelt unendlich vielen Möglichkeiten nicht eine einzige finden können.
Anscheinend hat das damit zu zu tun, dass diese solche Freiheit nicht gewohnt sind und immer noch auf die "Vorgabe" warten



hier ist ein Lösungstripel gesucht. Allerdings wird oft der Fehler gemacht "zu einfache" Tripel zu präsentieren. Das führt zum unbewussten Verhalten, dass die Lösungen einfache Zahlen sein müssen.
Das ist aber nicht der Fall.

Suche eines beliebigen Punktes:

2 der 3 Variablen sind frei wählbar.

Ich nehme nun "beliebig" x= 6784.43 und z=-773.983

jetzt fehlt noch der passende y-Wert.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

y = -7557.413
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja tipso, richtig Freude jetzt funktioniert es plötzlich...

natürlich würde man nicht einen solchen Punkt wählen ,

aber warum funktioniert es dann bei einfachen Zahlen nicht verwirrt

Was war eigentlich die aufgabe ?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es erst vor ca 30 min angefangen richtig zu verstehen.

Ich erhalte dadurch einen beliebigen Punkt auf der Ebene.

WAs ist nun bei:

x + y - z = 5

umgeformt

x + y - z - 5 = 0

............................

Was kann ich mit diesem Punkt nun anstellen?

A(x-Wert; y-Wert, z-Wert) = mein Punkt der Ebene.

lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mal zurück geblättert.

Ebene ( Parameterform ) ----> Ebene ( koordinatenform ) war die Aufgabe.


Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten.

1.) entfernen der Parameter

2.) Normalenvektor zu den Richtungsvektoren bestimmen + positive Punktprobe

3.) Aus 3 beliebigen(!!) Punkten mittels LGS ...

was du nun wählst hängt auch davon ab ob mit GTR oder ohne GTR

bei ohne GTR würde ich immer #2 wählen, ist auch erste Schülerwahl, allerdings brauchst du hier das Skalarprodukt.

Was nun?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aus der Gleichung nun einen Punkt erhalten.

Also kann ich beliebig viele Punkte ausarbeiten.

Ich brauche in meinem Fall 3 Punkte um die Ebene aufstellen zu können.

Hier habe ich noch eine Frage, wann habe ich nur x und y, wann kommt z dazu?

lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

also Version 3

du rätselst schon wieder an x y und z herum . Warum?

Kannst du nicht einfach erst mal 3 verschiedene Punkte ( nicht zu kompliziert ) bestimmen, und dann sieht man weiter.

Zur Frage: jeder Punkt hat x, y und z-Werte
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht nur x, y?

-----------------------------

A(1|1|1)

B(2|1|2)

C(0|2|1)

um die Parameterdarstellung zu erhalten, nehme ich eines als Startpunkt - 2 parameter und 2 Richtungsvektoren.

Richtungsvektoren lassen sich aus 2 Punkte gewinnen.

lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind 3 sehr schöne Punkte der Ebene Augenzwinkern du hast schnell verstanden, dass man sich mit der freien Wahl der "beliebigen " Punkte das Leben nicht unnötig schwer zu machen braucht.

Aber: ich muss mich korrigieren:

Es ging um

Ebene ( Koordinatenform) -----> Ebene ( Parameterform )

und da ist dein letzte Beitrag selbstredend richtig.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe leider deinen Beitrag nicht ganz.


Ich versuche nun die Parameterform zu erstellen.




der letzte Schritt wäre demnach ein Wechsel auf die Normalform?

Dann gibts noch den Normalvektor.
Dies vll. dann Morgen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

deine Ebenengleichung ist richtig !

Warum machst du dir immer unnötg Gedanken ? war doch auch einfach.

Der Wechsel in die Koordinatenform entfällt, da das Original ja schon in Koordinatenform vorlag. Big Laugh
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit war es einfach. Freude

Zur hessischen Normalform Morgen.

Ich glaube, ich brauche dafür den Normalvektor = kreuzprodukt.

ein d?

Dazu noch einen Vektor von r. verwirrt

Siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform

Danke für deine Hilfe.
Gute Nacht. Wink
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Um meinen Senf auch noch dazu zu geben. Ja, nun ist es richtig! Augenzwinkern
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