Reihe

22.03.2013, 22:24

Web

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Reihe

Meine Frage:
Hallo ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter :

Weisen Sie nach, dass die folgenden Reihen konvergieren und berechnen Sie den zugehörigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{4n}{(n-1)^2*(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Habt ihr tipps für mich?

Meine Ideen:
keine

22.03.2013, 22:33

Che Netzer

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RE: Reihe
Vereinfache mal $\begin{eqnarray*} (n+1)^2-(n-1)^2 \end{eqnarray*}$ .

22.03.2013, 22:35

Web

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(n+1)^2 = n^2 +2n +1

(n-1)^2 = n^2 -2n +1

Wieso steht ein minus dazwischen?

In der Aufgabe ist es mal?

22.03.2013, 22:37

Che Netzer

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Ist mir schon bewusst.
Also berechne mal $\begin{eqnarray*} (n+1)^2-(n-1)^2 \end{eqnarray*}$ und sieh dir an, was dabei herauskommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.03.2013, 22:39

Web

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n^2 +2n +1 - n^2 +2n -1 =

4n

Stimmt das ?

22.03.2013, 22:41

Che Netzer

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Ja. Und kannst du das nun anwenden?

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22.03.2013, 23:02

Web

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Wie soll ich das jetzt genau anwenden ?

Das ist mir nicht so klar?

23.03.2013, 09:40

Che Netzer

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Überlege dir doch mal, wie du die Gleichung $\begin{eqnarray*} (n+1)^2-(n-1)^2=4n \end{eqnarray*}$ in deine Reihe einsetzen kannst...

23.03.2013, 10:18

Web

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Soll ich den Zähler und nenner mit diesem term erweitern?

23.03.2013, 10:23

Che Netzer

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Nein, der Term taucht in der Reihe doch sowieso schon auf.

23.03.2013, 10:37

Web

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Ok aber soll ich dann jetzt genau machen?

Ich habe dann nicht so richtig die idee wie ich das anwenden kann?

Ich bin bei diesem thema nicht so fit

23.03.2013, 10:40

Che Netzer

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Du hast die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{4n}{(n-1)^2(n+1)^2} \end{eqnarray*}$
gegeben.
Jetzt weißt du, dass du statt $\begin{eqnarray*} 4n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (n+1)^2-(n-1)^2 \end{eqnarray*}$ schreiben kannst.

Damit wirst du doch wohl irgendetwas anfangen können...

23.03.2013, 10:45

Web

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Oh ja das stimmt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{(n+1)^2 - (n-1)^2}{(n-1)^2 *(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Soll ich diesen Bruch jetzt aufsplitten und kürzen ?

Bin mir nicht sicher.

23.03.2013, 10:47

Che Netzer

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Probier es einfach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.03.2013, 10:52

Web

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich das .

Ist das jetzt irgendwie teleskopsumme oder so?

23.03.2013, 11:11

Che Netzer

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Ja, das ist eine Teleskopsumme. Und wie sieht nun die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Partialsumme aus?

23.03.2013, 12:28

Web

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Bei mir bleibt diese Summe übrig :

1/4+ 1/9-1/25 -1/36

Wie gehe ich genau weiter vor?

23.03.2013, 12:49

Che Netzer

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Wo bleibt das übrig? Was soll das sein?

23.03.2013, 12:52

Web

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Oder wie soll ich sonst bei der teleskopreihe Vorgehen ?

23.03.2013, 12:54

Che Netzer

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Zunächst einmal solltest du wie gesagt die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Partialsumme bestimmen.
Bei der Gelegenheit kannst du auch gleich verraten, wie du auf "1/4+ 1/9-1/25 -1/36" gekommen bist.

23.03.2013, 12:59

Web

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Ich hab mal jetzt die reihe bis n= 7 aufgeschrieben und dann bleib bei mir das übrig.

Stimmt das?

23.03.2013, 13:01

Che Netzer

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Ja, das ist die siebte Partialsumme.
Jetzt stelle allgemein die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Partialsumme auf.

23.03.2013, 13:05

Web

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Aber ich merke irgendwie nicht was bei der nten Partialsumme übrig bleibt.

Oder was meinst du genau ?

23.03.2013, 13:07

Che Netzer

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Ich meine, dass du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^k\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen sollst.

So, wie du es schon bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^7\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64} \end{eqnarray*}$ getan hast.

23.03.2013, 13:09

Web

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Wie schreibe ich denn die kte partialsumme auf ?

Soll ich für n = k einsetzen?

23.03.2013, 13:12

Helferlein

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@web:
Etwas mehr Mitarbeit bitte. Einfach nur nachfragen bringt Dich nicht weiter.
Du sollst die Aufgabe lösen, nicht Che.

23.03.2013, 13:16

Web

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@ helferlein Ich versuche es.

Was soll ich machen wenn ich nicht selber drauf komme?

KAnn ich es so machen Che?

23.03.2013, 13:21

Che Netzer

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Zitat:

Original von Web
Was soll ich machen wenn ich nicht selber drauf komme?

Es hindert dich hier niemand daran, mehr als zwei Minuten nachzudenken.

Und das auf deinem Bild ist nur der letzte Summand der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Partialsumme.

Du hast dir doch aber sicher irgendetwas dabei gedacht, als du $\begin{eqnarray*} \frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64} \end{eqnarray*}$ als siebte Partialsumme ausgerechnet hast.
Da hat sich ja einiges herausgekürzt. Kürze genauso für die allgemeine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Partialsumme.

23.03.2013, 13:24

Web

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Ich glaube du meinst es so che oder?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^5 \frac{3}{16} + \frac{16}{225}+ \frac{5}{144} \end{eqnarray*}$

Könnt das stimmen?

23.03.2013, 13:30

Che Netzer

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Was bitte soll das sein?

Ich möchte auf eine Gleichung der Form
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^k\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\dotso \end{eqnarray*}$
hinaus, die ähnlich aussieht wie
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^7\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64}\,. \end{eqnarray*}$

23.03.2013, 13:49

Web

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Zitat:

Original von Web
Oh ja das stimmt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{(n+1)^2 - (n-1)^2}{(n-1)^2 *(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Soll ich diesen Bruch jetzt aufsplitten und kürzen ?

Bin mir nicht sicher.

Das hatten wir doch hier schon oder nicht?

23.03.2013, 13:58

Che Netzer

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Da geht die Reihe aber bis unendlich.
Außerdem kannst du
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^k\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\sum_{n=3}^k\frac{(n+1)^2-(n-1)^2}{(n+1)^2(n-1)^2}=\dotso \end{eqnarray*}$
noch weiter fortführen.

23.03.2013, 14:25

Web

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ich meine, dass du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^k\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen sollst.

So, wie du es schon bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^7\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64} \end{eqnarray*}$ getan hast.

Das verstehe ich nicht so ganz. Das hatte wir doch hier gemacht .

Was mache ich jetzt ?

verwirrt

verwirrt

23.03.2013, 15:09

Che Netzer

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Du hast $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^7\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64} \end{eqnarray*}$ gerechnet. Das stimmt auch. Jetzt mache das gleiche nochmal, nur dass die Reihe jetzt bis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und nicht bis Sieben gehe.

23.03.2013, 15:41

Web

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Am Ende der Summe müsste doch dann das stehen oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k-1)^2} - \frac{1}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

23.03.2013, 15:45

Che Netzer

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Ja, aber das ist nicht die gesamte Summe.

Wie bist du denn vorgegangen, um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^7\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64} \end{eqnarray*}$ zu erhalten?

23.03.2013, 16:09

Web

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Ist es so in ordnung?

23.03.2013, 16:26

Che Netzer

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Bis auf das jetzt überflüssige Summenzeichen sieht das schon besser aus. Jetzt kannst du kürzen.
Am Ende bleiben nur vier der Brüche übrig.

23.03.2013, 16:47

Web

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Was soll ich denn da kürzen?

Hast du wenigstens einen tipp für mich?

23.03.2013, 16:55

Che Netzer

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Du hast doch schon für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^7\frac{4n}{(n+1)^2(n-1)^2}=\frac14+\frac19-\frac1{49}-\frac1{64} \end{eqnarray*}$ gekürzt.
Überlege dir, was eine Teleskopsumme ausmacht.

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