Hessesche Normalform

23.03.2013, 01:01

Junger Padawan

Hessesche Normalform

Meine Frage:
Gegeben seien die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie die Punkte P(3,4,2) & Q(3,4,5).

a) Die Hessische Normalform der Ebene E, die von a und b aufgespannt wird und den Punkt P enthält.

b) Abstand d des Punktes Q von der Ebene E

Meine Ideen:
Bei (b) berechne ich ja $\begin{eqnarray*} d= \frac{| \vec{P_{E}Q} * \vec{n_{E}} |}{|\vec{n_{E}}| } \end{eqnarray*}$ aber dafür muss ich a richtig lösen.
Ich komme nicht dahinter wie ich es machen könnte damit es Mathematisch perfekt passt.

23.03.2013, 10:04

Bürgi

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RE: Hessische Normalform
Guten Morgen,

das Kreuzprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ liefert Dir einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.

23.03.2013, 10:28

Che Netzer

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RE: Hessische Normalform
Und als kleiner Hinweis:
Es heißt "Hessesche Normalform", der Name kommt von einem Mathematiker namens Hesse Augenzwinkern

24.03.2013, 02:42

Junger Padawan

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RE: Hessische Normalform
Es ist mir schon bewusst, dass mit a & b aufgespannt das Kreuzprodukt gemeint ist aber wie bekomme ich da die Ebene draus. Es ist ja im endeffekt ne ebene die gezeichnet werden kann aber gibt es da keine mathematische notation verwirrt

Und ja Hessesche hab mich nur vertippt.

24.03.2013, 09:17

Bürgi

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RE: Hessische Normalform
Guten Morgen,

wenn Du $\begin{eqnarray*} \vec n = \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ berechnet hast und Du den Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ eines Punktes P der Ebene kennst, dann ist

$\begin{eqnarray*} E:\vec n(\vec x - \vec p)=0 \end{eqnarray*}$

eine Normalenform der Ebenengleichung.

Beachte bitte: Das ist noch nicht die Hessesche NF.

24.03.2013, 09:48

riwe

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RE: Hessische Normalform

Zitat:

Original von Junger Padawan
Es ist mir schon bewusst, dass mit a & b aufgespannt das Kreuzprodukt gemeint ist aber wie bekomme ich da die Ebene draus. Es ist ja im endeffekt ne ebene die gezeichnet werden kann aber gibt es da keine mathematische notation verwirrt

Und ja Hessesche hab mich nur vertippt.

nimm am einfachsten die normal(en)vektorform

mit dem normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec {n}=\vec{a}\times\vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

bzw. kannst du den normalenvektor gleich normieren, ha Augenzwinkern

25.03.2013, 23:10

Junger Padawan

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RE: Hessische Normalform
Dh. $\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot (\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ oder, und was ist eigt. mit dem x.

26.03.2013, 08:28

Bürgi

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RE: Hessische Normalform
Guten Morgen,

hat fast geklappt:

1. Zu einer Ebenengleichung gehört ein Gleichheitszeichen, also etwa so:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right)=0 \end{eqnarray*}$

2. Diesen Satz

Zitat:

und was ist eigt. mit dem x.

verstehe ich nicht.

3. Für die Abstandsberechnung muss nun der Normalenvektor normiert werden.

29.03.2013, 21:09

Junger Padawan

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Zu 1) Ist doch mal ein Anfang Augenzwinkern

Zu 2) Ich dachte, dass der x-vector ein platzhalter für nen wert sei.
Zu 3) der Normierte vector wäre ja
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}}{|\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}|} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} }{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}}\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 09:11

Bürgi

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Guten Morgen,

der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ ist hier tatsächlich ein Platzhalter für den Ortsvektor von P.
Wenn Du Deine Ergebnisse zusammenfasst, kannst Du nun die Gleichung zur Berechnung des Abstands bestimmen:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{\vec n}{|\vec n|} \cdot \vec p - \frac{\vec n}{|\vec n|} \cdot \vec q \end{eqnarray*}$

Achte darauf, dass der zweite Summand unbedingt negativ sein muss, weil sonst das ganze schöne Verfahren nicht richtig funktioniert.
Das Ergebnis hat ein Vorzeichen, welches von Dir richtig interpretiert werden muss.

30.03.2013, 18:59

Junger Padawan

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Ahm Zusammenfassung:
Gegeben seien die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie die Punkte P(3,4,2) & Q(3,4,5).

a)
Normalform der Ebene: $\begin{eqnarray*} E: \vec{n} \cdot (\vec{x} -\vec{p}) = 0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ darausfolgt $\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann den Normalvektor: $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ normieren wodurch wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber es fehlt hier noch was um auf eine Lösung zu kommen oder ?

b)
Dann den Abstand des Punktes Q von der Ebene: $\begin{eqnarray*} d = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n} }{|\vec{n} |} \end{eqnarray*}$ wobei dann $\begin{eqnarray*} \frac{-6}{\sqrt{12}} \end{eqnarray*}$ der Abstand wär

31.03.2013, 14:57

Bürgi

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Fröhliche Ostern!

Im Prinzip ist die Aufgabe a) mit

$\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

beantwortet.

Ich würde allerdings die Klamer auf lösen und noch durch (-2) teilen, so dass Du hast:

$\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 9 = 0 \end{eqnarray*}$

Erst bei Aufgabe b) muss der Normalenvektor normiert werden und damit die gesamte Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ geteilt werden:

$\begin{eqnarray*} E:\frac1{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 3 \sqrt{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn Du nun den Abstand von Q zu E bestimmst

$\begin{eqnarray*} d = \frac1{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{q} - 3 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

erhältst Du $\begin{eqnarray*} d = +\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Da der Abstand positiv ist, liegen Q und der Ursprung auf verschiedenen Seiten von E.

(Diese fast vollständige Lösung ist mein Beitrag für Dein Osternest)

31.03.2013, 23:22

Junger Padawan

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Danke Ebenfalls ;D

Also das mit den Klammer lösen - wobei ja die 9 raus kommt - habe ich, aber eine blöde kleine Frage hier das mit den durch (-2) teilen. Das habe ich schonmal gesehen.
Ist es eine verschönerung oder hat es irgendwelche folgen und nach welchen Kriterium macht man es.
Hier war es ja sehr übersichtlich durch (-2) zu teilen und damit eine kleine schöne Zahl zu haben.
Was wäre bei bspw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine passende "verschönerung". Desweiteren habe ich noch ne coole vorgehensweise gefunden bei der man auch sehen kann in welcher richtung n geht.

01.04.2013, 09:55

Bürgi

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Zitat:

Ist es eine verschönerung oder hat es irgendwelche folgen und nach welchen Kriterium macht man es.

Ich persönlich fühle mich einfach sicherer bei den Berechnungen, wenn die Zahlen positiv, ganzzahlig und unter 10 sind statt irgendwelcher barocker Brüche oder Wurzeln.

Zitat:

Was wäre bei bspw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine passende "verschönerung".

Es geht nur darum, was Du mit den Zahlen erreichen willst. Im ersten Beispiel konnte man (-2) ausklammern, hier hast Du 3 Primzahlkomponenten, da kann man nichts ausklammern. Wenn allerdings die 2. Komponente genau 1 groß sein soll, dann musst Du (-5) ausklammern.

Bei der Abstandsberechnung mittels HNF muss allerdings die Konstante (der 2. Summand) negativ sein, weswegen in Deiner Aufgabe durch eine negative Zahl geteilt werden musste.

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