Integral

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Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »
Integral
Meine Frage:
Weiß jemand wie man das Integral von (x-2)/(x^2+4) rechnet?

Meine Ideen:
Ich würde das Integral trennen, weiß aber nicht wie.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Spalte das Integral in eine Summe auf. Der eine Summand führt nach einer Substitution auf den natürlichen Logarithmus, der andere nach einer anderen Substitution auf den Arcustangens.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie, ich komm einfach nicht drauf.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand sagen wie ich es aufteilen kann, ich wäre sehr dankbar.
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte keine Doppelposts zum reinen pushen so direkt nacheinander.

Da Leopold scheinbar gerade off ist:
Ziehe erst einmal den Bruch auseinander (einfach so, ohne Aufwand, einfach nur, da der Zähler eine Summe ist. Als Anmerkung: das kann in manchen Fällen keine gute Idee sein, sehr oft hilft es aber, wie hier der Fall ist)

Dann erinnere dich an und schau mal nach, was die Ableitung des Arkustangens ist. Dann sehen wir weiter.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Also teilen in das Integral von x/x^2+4 und integral von -2/x^2+4. Und 1/1+x^2 ergibt den arctangens.
 
 
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Immer etwas aufpassen, 1/(1+x²) aber du meinst sicherlich das richtige. Wir haben also:



Beim ersten Teil sieht der Zähler schon fast so aus wie die Ableitung des Nenners. Ein geschicktes Multiplizieren mit Eins bringt ihn auf die gewünschte Form (beachte, dass du immer Vorfaktoren auch vor das Integral ziehen kannst).

Beim zweiten Teil hilft wie schon von Leopold erwähnt wurde eine geschickte Substitution. Überlege einmal was man für x einsetzen müsste, damit man die Vier im Nenner ausklammern und (zusammen mit der -2 im Zähler, die uns eh stört) vor das Integral ziehen kann. Das geht auch anders herum: du kannst genauso einfach die Vier ausklammern und dann substituieren, damit genau die Ableitung des Arkustangens heraus kommt.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das richtig verstehe ist beim ersten teil t=x^2 +4 und dt= 2xdx. Wenn man also rechnet ergibt der erste Teil lnx/2.
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich bei dem ersten Teil nicht substituieren, sondern nur an den Zähler eine Zwei multiplizieren und das mit einem 1/2 vor dem Integral wieder ausgleichen. Dein Vorschlag geht auch, allerdings ist bei dem Ergebnis etwas schief gelaufen.



Du hast vermutlich vergessen, zu resubstituieren. Anders gesagt kommt heraus, aber nicht x ! Du musst also t wieder zurück ersetzen.

PS: mein captcha war "integrieren" Big Laugh
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Verbesserung. Aber was ich für x nehmen soll, weiß ich noch immer nicht, ich hab schon viel versucht, aber irgenwie geht es nie auf.
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem zweiten Integral erste einmal die -2 heraus ziehen, sie stört nur:

Jetzt klammer einmal stur im Nenner eine Vier aus und ziehe das vor das Integral. Dann schau nochmal hin.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht wie ich die 4 ausklammern kann.
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt gilt es t zu bestimmen und dann eben genau so zu substituieren.

Es scheint ein bisschen Unsicherheit mit multiplizieren von Eins zu herrschen (was auch in der Schule noch verständlich ist). Als Anregung: , das 1/4 muss man dann nur noch in das Quadrat mit hinein ziehen. Dann erkennt man vielleicht, was eine geeignete Substitution ist.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme noch immer nicht drauf, tut mir leid.
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »


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Diese Kette bitte verstehen, aber ich denke das Problem war eher kommunikationstechnischer Natur. Jetzt erinnern wir uns wieder an die Ableitung vom Arkustangens, wir hätten eigentlich gerne was? Wie substituieren wir dementsprechend?
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

t=x/2 oder?
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Glücklicherweise ist dementsprechend also entsteht nur eine Konstante, die wir ebenfalls vor das Integral ziehen können.
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist dann dementsprechend insgesamt die Stammfunktion?
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

-arctanx/2 +c
tmp31415926 Auf diesen Beitrag antworten »

Von dem zweiten Teil, ja. Also insgesamt



Freude
Ruhrpottler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
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