stetig differenzierbar => lipschitz-stetig?

23.03.2013, 19:54

joachim_gerner

stetig differenzierbar => lipschitz-stetig?

Meine Frage:
Hallo,

wenn ich eine $\begin{eqnarray*} C^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ Funktion habe, ist die dann lipschitzstetig?

Meine Ideen:
noch leider keine

Ein Hinweis wäre gut.

23.03.2013, 20:01

Che Netzer

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RE: stetig differenzierbar => lipschitz-stetig?
Nein, suche also ein Gegenbeispiel.

23.03.2013, 20:02

joachim_gerner

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Und wie ist es, wenn man zudem noch weiß, dass die Ableitung dieser Funktion in $\begin{eqnarray*} L^{\infty}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ liegt?

23.03.2013, 20:04

Che Netzer

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Dann gilt die Implikation.

23.03.2013, 20:11

joachim_gerner

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Okay, dann würde ich gerne diese Aussage versuchen zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} f\in C^{1}(\mathbb{R}), f'\in L^{\infty}(\mathbb{R})\Rightarrow f\mbox{ lipschitzstetig} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man das beweisen kann.

Ich muss ja zeigen, dass es eine Konstante $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gibt, s.d.

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x_1)-f(x_2)\rvert\leq L\cdot\lvert x_1-x_2\rvert~\forall~x_1,x_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Nur: Wie?

23.03.2013, 20:13

Che Netzer

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Dafür kannst du den Mittelwertsatz benutzen.

23.03.2013, 20:32

joachim_gerner

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Achso,

Seien $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} f|_{[x_1,x_2]} \end{eqnarray*}$ stetig (denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ differenzierbar, was Stetigkeit auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ impliziert, also insbesondere auf $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \end{eqnarray*}$ ).

Zudem ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung auf $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

D.h. alle Voraussetzungen des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung sind erfüllt.

Es gibt also mindestens ein $\begin{eqnarray*} \xi\in (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \lvert f(x_2)-f(x_1)\rvert=\lvert f'(\xi)\rvert\cdot\lvert x_2-x_1\rvert\leq \mbox{esssup}\lVert f\rVert_{\mathbb{R}}\cdot\lvert x_2-x_1\rvert \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} L:=\mbox{esssup}\lVert f\rVert_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt?

23.03.2013, 20:38

Che Netzer

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \underset{x\in\mathbb R}{\operatorname{ess\,sup}}\lvert f'(x)\rvert \end{eqnarray*}$ , d.h. das wesentliche Supremum der Ableitung, nicht das der Funktion selbst.
Da kannst du aber auch das normale Supremum verwenden, immerhin ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stetig (ginge sogar für unstetige Ableitungen).

23.03.2013, 20:52

joachim_gerner

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Ja, ich meine natürlich das wesentliche Supremum der Ableitung.

Wieso ist bei einer stetigen Funktion egal, ob man das wesentliche Supremum oder das "normale" Supremum nimmt?

Ich würde das so erklären:

Das wesentliche Supremum ist ja das Infimum der wesentlichen Schranken und diese gelten ja jeweils auf einer zugehörigen Nullmenge.

Wenn die Funktion nun aber stetig ist, es also keine "Lücken" gibt, hat man schonmal wieder die Nullmengen berücksichtigt (bzw. welche Werte die Funktionen auf diesen annimmt) und die Bereiche zwischen den Nullmengen sind auch berücksichtigt, aber dort sind die Funktionswerte ja kleiner als die wesentlichen Schranken.

Oder anders gesagt: Man hat die Nullmengen, wo die Funktion groß werden kann, und die Nicht-Nullmengen bzw. die Funktion kann nirgends einfach abhauen, wenn sie zum Beispiel auf einer Nullmenge groß wird und immer größer, dann bleibt sie auch groß auf der Nicht-Nullmenge oder fällt auf dieser wieder und das alles ohne "Lücken"...

Also kann man auch einfach das "normale" Supremum betrachten.

Hm, ist vielleicht nicht soo gut erklärt...

23.03.2013, 21:29

Che Netzer

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Zu $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ gibt es eine Umgebung (die ein positives Lebesgue-Maß hat!) von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , in der die Funktionswerte beliebig nahe an $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ liegen.

23.03.2013, 22:32

joachim_gerner

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Ja, das ist die Stetigkeit.

Aber ich weiß nicht genau, was Du damit sagen willst, also wieso es deswegen egal ist, ob man wesentliches Supremum oder "normales" Supremum nimmt.

23.03.2013, 22:38

joachim_gerner

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Achso, Du willst mir glaube ich sagen, daß es wegen der Stetigkeit keine Nullmengen gibt, genauer: keine Mengen mit Lebesguemaß 0?

Weil eben die Stetigkeit sagt, dass es zu einer Umgebung eines Funktionswerts auch eine Umgebung um das zugehörige Argument gibt (hier: ein Intervall, das eine Länge hat, also nicht aus einem Punkt besteht und also nicht Lebesguemaß 0 hat - das Lebesguemaß misst hier ja die Länge eines Intervalls im Eindimensionalen).

Und also muss man nicht irgendwelche Nullmengen betrachten und der ganze Begriff des wesentlichen Supremums (der ja nur aufgrund von Nullmengen eingeführt wurde) ist hier überflüssig, sodass man das gewöhnliche Supremum benutzen kann?

---

Ich hoffe, ich habe es richtig verstanden.

24.03.2013, 12:27

joachim_gerner

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Hallo, was sagst du zu meinem letzten Beitrag?

24.03.2013, 12:38

Che Netzer

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Ich weiß leider nicht ganz, was du damit aussagen möchtest...

Nimmt man aus dem Definitionsbereich einer stetigen Funktion eine Nullmenge heraus, so ändert sich deren Supremum nicht, da sich stets ein Intervall positiver Länge finden lässt, auf dem die Funktion ihrem Supremum beliebig nahe kommt.

24.03.2013, 13:01

joachim_gerner

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Also wenn man das wesentliche Supremum gefunden hat, so weiß man wegen der Stetigkeit, dass die Funktion diesem wesentlichen Supremum beliebig nahekommt und deswegen ist es auch das "normale" Supremum?

24.03.2013, 13:03

Che Netzer

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So könnte man es ausdrücken.
Insbesondere sind die Bereiche, auf denen die Funktion dem wesentlichen Supremum beliebig nahe kommt, von positivem Lebesgue-Maß.

24.03.2013, 13:17

joachim_gerner

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Hm, mir ist noch niicht klar, wieso das wesentliche Supremum auch Supremum sein kann.

Bei dem wesentlichen Supremum ist das ja eine schwächere Form, weil man halt sagt: Das ist ein Supremum bis auf Nullmengen; die Mengen, wo die Funktion das wesentliche Supremum übersteigt, sind Nullmengen.

Beim normalen Supremum muss man doch aber diese Nullmengen auch berücksichtigen und dann ist das wesentliche Supremum doch nicht das Supremum. verwirrt

Ich sehe nicht, wie das die Stetigkeit Abhilfe schafft, sodass das wesentliche Supremum auch das Supremum ist.

Liegt das daran, dass Nullmengen bzgl. des Lebesguemaßes auf IR nur Punkte sind bzw. abzählbare Vereinigungen von Punkten?

24.03.2013, 13:19

joachim_gerner

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ergänzung: bzw. auch überabzählbare Vereinigungen von Punkten

24.03.2013, 13:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von joachim_gerner
Liegt das daran, dass Nullmengen bzgl. des Lebesguemaßes auf IR nur Punkte sind bzw. abzählbare Vereinigungen von Punkten?

Das ist ohnehin nicht der Fall.

Dann betrachte mal zu gegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ die Menge aller $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass für die stetige und nichtnegative Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)>\sup_{y\in\mathbb R}f(y)-\varepsilon \end{eqnarray*}$
ist.
Da es mindestens ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt (Definition des Supremums), gibt es sogar ein ganzes Intervall, auf dem die Ungleichung gilt.
Es gibt also keine Nullmenge, die man entfernen könnte, damit die Ungleichung nirgends mehr gilt.

Ist das schonmal anschaulich?

Edit: Jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine überabzählbare Vereinigung von Einpunktmengen Augenzwinkern

24.03.2013, 13:44

joachim_gerner

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Und andersherum:

Wenn man das wesentliche Supremum bestimmt hat, also das Infimum der wesentlichen Schranken, so bedeutet das ja, daß die Funktion nur auf Nullmengen sozusagen ausbricht (also in einem oder mehreren einzelnen Punkten, oder?) und größer als dieses wesentliche Supremum ist.

Da die Funktion aber stetig ist, kann man ja aber Umgebungen um diesen/ diese Punkt/e legen und die Funktion kommt den Werten an diesem Punkte/ diesen Punkten beliebig nahe. Also ist das auch das Supremum, wie man es für gewöhnlich meint.

Oder Du sagst es glaube ich so, dass man quasi gar keine Nullmengen hat, auf denen die Funktion ausbrechen könnte, sondern eben nur Intervalle von positiver Länge.

24.03.2013, 13:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von joachim_gerner
(also in einem oder mehreren einzelnen Punkten, oder?)

Nein, Nullmengen können auch mehr als nur einzelne Punkte sein.

Zitat:

Da die Funktion aber stetig ist, kann man ja aber Umgebungen um diesen/ diese Punkt/e legen

Wobei es aber auch möglich wäre, dass das Supremum erst im Unendlichen "angenommen" wird, das ändert aber nicht viel.

Ansonsten hört sich das so an, als hättest du die Idee verstanden.

24.03.2013, 13:51

joachim_gerner

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Achso, ich dachte jetzt irgendwie daran, dass ja das Lebesguemaß die Länge misst und dass dann irgendwie nur Punkte die Länge 0 haben können.

Aber es ist ja hier eigentlich auch egal, wie die Nullmengen konkret aussehen.

Man kann immer um jeden Punkt ein Intervall positiver Länge legen und dieses hat nicht Lebesguemaß 0.

24.03.2013, 13:53

Che Netzer

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Ja, für Intervalle ist das Lebesgue-Maß tatsächlich die Länge.

24.03.2013, 13:56

joachim_gerner

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ja, und deswegen meinte ich, daß doch bei einer Funktion die vom Reellen ins Reelle abbildet, Nullmengen eigentlich nur aus (abzählbareb oder überabzählbaren) Punkten bestehen können?....

Und die Funktion nur an einzelnen Punkten ausbrechen kann (also im Kontext des wensentlichen Supremums)?

Tut mir leid, ich bin gerade ein wenig konfus.

24.03.2013, 13:58

Che Netzer

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Nullmengen bestehen doch immer aus abzählbar oder überabzählbar vielen Punkten, woraus denn sonst? verwirrt

24.03.2013, 14:05

joachim_gerner

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ja, stimmt Big Laugh

ich kanns irgendwie nicht ausdrücken, was ich ausdrücken will

Punktum:

Bei stetigen reellwertigen Funktionen mit Definitionsbereich IR gibt es keine Nullmengen, auf denen die Funktion irgendwie abhaut, während sie auf Nicht-Nullmengen unter einer Grenze bleibt.

Weil es sich aufgrund der Stetigkeit bei den Mengen, auf denen die Funktion groß wird, immer um irgendwelche Intervalle positiver Länge handelt.

24.03.2013, 14:39

joachim_gerner

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da keine antwort mehrt kommt, gehe ich frecherweise davon aus, dass man das so stehen lassen kann. Big Laugh

danke für die hilfe!

24.03.2013, 17:19

RavenOnJ

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Das ist doch der Begriff der Stetigkeit, der da reinkommt. Wenn du einen "Ausreißerwert" $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hast, dann muss es aufgrund der Stetigkeit zu einer beliebigen $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ eine $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ geben, sodass alle Funktionswerte auf dieser Umgebung innerhalb genannter $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung liegen. Diese $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Umgebung hat aber ein positives Maß, sie gehört also zu der Menge, die beim essentiellen Supremum berücksichtigt wid. Deswegen stimmen bei stetigen Funktionen Supremum und essentielles Supremum überein.

24.03.2013, 17:23

RavenOnJ

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Zitat:

Original von joachim_gerner
Achso, ich dachte jetzt irgendwie daran, dass ja das Lebesguemaß die Länge misst und dass dann irgendwie nur Punkte die Länge 0 haben können.

Auch manche überabzählbare Mengen wie die Cantor-Menge haben Maß Null.

24.03.2013, 18:02

joachim_gerner

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Hallo, RavenOnJ

Also ich würde es so formulieren, dass eben die Menge derjenigen $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , deren Funktionswerte betragsmäßige eine wesentliche Schranke übersteigen, keine Nullmengen sein können, wenn es sich um eine stetige Funktion handelt.

Bei dem wesentlichen Supremum, das ja nichts Anderes als das Infimum diesser wesentlichen Schranken ist, gibts also gewissermaßen gar keine Nullmengen.

Und darum fällt bei solchen Funktionen der Begriff des wesentliches Supremums mit dem des Supremums zusammen, weil man eben nicht schauen muss, ob Schranken nur für Nicht-Nullmengen gelten.

Korrekt?

25.03.2013, 11:04

joachim_gerner

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Bitte nochmal meinen letzten Beitrag anschauen, vielen Dank!

Wink

25.03.2013, 12:54

RavenOnJ

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Zitat:

Original von joachim_gerner
Also ich würde es so formulieren, dass eben die Menge derjenigen $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , deren Funktionswerte betragsmäßige eine wesentliche Schranke übersteigen, keine Nullmengen sein können, wenn es sich um eine stetige Funktion handelt.

Das ist unglücklich formuliert. Es ist so, dass die Menge der Punkte, deren Funktionswerte eine wesentliche Schranke übersteigen bei einer stetigen Funktion leer ist. Es kann also keine punktuellen Ausreißer geben. Es kann bei stetigen Funktionen nur einen einzigen Wert geben, der eine wesentliche Schranke darstellt (das umgekehrte gilt allerdings nicht!). Es wäre aber wohl jetzt die Aufgabe, dies anhand der Stetigkeitsdefinition zu beweisen. Bisher steht da nur eine Feststellung.

Zitat:

Bei dem wesentlichen Supremum, das ja nichts Anderes als das Infimum diesser wesentlichen Schranken ist, gibts also gewissermaßen gar keine Nullmengen.

Keine Ahnung, wie du das meinst.

Zitat:

Und darum fällt bei solchen Funktionen der Begriff des wesentliches Supremums mit dem des Supremums zusammen, weil man eben nicht schauen muss, ob Schranken nur für Nicht-Nullmengen gelten.

dito

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