Ungleichnung mit vier reellen Zahlen

24.03.2013, 09:58

Lloyd2718

Ungleichnung mit vier reellen Zahlen

Guten Morgen!

$\begin{eqnarray*} a, b, c, d\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Zeige, dass nicht alle der folgenden Zahlen grösser als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ sein können:

$\begin{eqnarray*} a-b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b-c^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-d^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d-a^{2} \end{eqnarray*}$

Frage:

Ist mein Beweis zulässig bzw. ausreichend?

Annahme:

$\begin{eqnarray*} a-b^{2}>\frac{1}{4}\Rightarrow a-b^{2}-\frac{1}{4}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b-c^{2}>\frac{1}{4}\Rightarrow b-c^{2}-\frac{1}{4}>0 \end{eqnarray*}$

mit den zwei anderen Zahlen verfahre ich gleich.
Da jede der vier Zahlen subtrahiert mit einem Viertel grösser als Null ist, ist auch die Summe grösser als Null.

$\begin{eqnarray*} a+b+c+d-a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}-1>0 \end{eqnarray*}$

Da aber die Differenz von der Wurzel einer Zahl und ihrem Quadrat nie grösser als ein Viertel wird, erreicht der Term links höchstens den Wert Null und ist somit nicht grösser Null.

Beweis durch Wiederspruch.

Abschlussbemerkung:

Mir erscheint das logisch, aber ich bin noch nicht sonderlich geübt.
Ich wäre dankbar für eine Rückmeldung.

24.03.2013, 10:17

Iorek

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Deine Idee ist gut und soweit richtig. Du solltest allerdings die Behauptung $\begin{eqnarray*} a-a^2\leq \frac 14 \end{eqnarray*}$ nicht einfach so hinschreiben, sondern noch begründen/nachweisen. Führe dafür einfach für $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ die quadratische Ergänzung durch.

24.03.2013, 11:05

Lloyd2718

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Vielen Dank für deine Rückmeldung!

Also um diese Behauptung zu beweisen würde ich aufzeigen

$\begin{eqnarray*} x-x^{2}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow x^{2}-x+\left(\frac{1}{2} \right) ^{2}\geq 0\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2} \right) ^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das Prinzip der quadratischen Ergänzung ist mir schon bekannt, aber wie ich diese mit a, b, c, d durchführen soll erschliesst sich mir nicht ganz.

24.03.2013, 11:46

Iorek

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Fang so an:

$\begin{eqnarray*} a-a^2=-(a^2-a)=-(a^2-a+\frac 14 - \frac 14)=\dots \end{eqnarray*}$

Das kannst du direkt in deiner Ungleichung für jede Variable einzeln machen. Damit kannst du die Ungleichung weiter vereinfachen.

24.03.2013, 11:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Lloyd2718
$\begin{eqnarray*} x-x^{2}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow x^{2}-x+\left(\frac{1}{2} \right) ^{2}\geq 0\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2} \right) ^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ schreibst, genügt das auch schon.

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