Bruchterm Multiplikation / Division Aufgabe

24.03.2013, 13:47

algebraisch

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Bruchterm Multiplikation / Division Aufgabe

Meine Frage:
Guten Tag

Ich beschäftige mich momentan mit gemischten Aufgaben von Bruchtermen Division/Multiplikation

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter unglücklich

unglücklich

Ich sehe einen möglichen Ansatz um eine Summe in ein Produkt zu wandeln um danach kürzen zu können. Habe diesen Orang Markiert.

Komme aber nicht weiter kann mir jemand weiterhelfen? Mit schritt für schritt Lösung. Danke

Meine Ideen:
Ich sehe einen möglichen Ansatz um eine Summe in ein Produkt zu wandeln um danach kürzen zu können. Habe diesen Orang Markiert.

24.03.2013, 13:50

sulo

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RE: Bruchterm Multiplikation / Division Aufgabe
Der rot markierte Bruchterm ist einer der Faktoren, bei denen du vielleicht kürzen kannst. Direkt wird das aber nicht gehen, weil du einmal ein + und einmal ein - zwischen den Termen stehen hast.

Ich würde jedoch jeden Nenner und jeden Zähler daraufhin untersuchen, ob du nicht faktorisieren kannst.

Im Übrigen musst du hier schon mitarbeiten, Komplettlösungen sind laut Boardprinzip verboten.

smile

smile

24.03.2013, 14:59

algebraisch

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Danke für den Tipp komme nicht weiter. Habe jeden Bruchterm für sich so gut als möglich gekürzt.

24.03.2013, 15:11

sulo

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RE: Bruchterm Multiplikation / Division Aufgabe
Wir sollten vielleicht mit Latex arbeiten. Den Formeleditor dazu siehst du rechts. Wenn du ihn anklickst, öffnet sich ein Feld für Latex, wo du die nötigen Symbole findest. Weiterhin gibt es ein Fenster, in dem du schreiben kannst und die dann mit dem Vorschau-Button die Formel anzeigen kannst.
Du kannst die Formel dann hierher ins Antwort-Feld kopieren und mit dem Button f(x) die Latex-Klammern vor und hinter die Formel einfügen.
edit: Wenn du mit der Maus über eine Formel fährst, bekommst du ihren Latex-Code angezeigt.

$\begin{eqnarray*} \frac{16p^4-81q^4}{60pq^2 + (5p-3q^2)^2}\cdot \frac{2p+3}{8p^3+18pq^2}: \frac{6p+9}{5p+3q^2} \end{eqnarray*}$

Zu deinen Umwandlungen:

Beim ersten Bruch musst du zunächst im Nenner die Klammern auflösen. Du kannst dann das Ergebnis mit den 60pq² zusammenfassen und schließlich wieder in eine Klammer schreiben.
Im Zähler solltest du an die Binomis denken und faktorisieren.

Bei dem zweiten Bruch muss im Nenner in der Klammer ein + statt eines · stehen.

Beim dritten Bruch kannst du im Nenner nichts ausklammern. Der Zähler stimmt.
Beachte, dass du den dritten Bruch umkehren musst, damit du ihn multiplizieren kannst.

smile

smile

25.03.2013, 18:57

algebraisch

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Möchte Sulo für die Hilfe Danken Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{16pq^4-81q^4}{60pq^2+(5p-3q^2)^2} \cdot \frac{2p+3}{8p^3+18pq^2} : \frac{6p+9}{5p+3q^2} \end{eqnarray*}$

Beim ersten Bruch kann im Zähler nichts ausgeklammert werden. Im Nenner kann jedoch die Klammer aufgelöst werden.

$\begin{eqnarray*} (5p-3q^2)^2= (5p-3q^2)\cdot (5p-3q^2)= 25p^2-30pq^2+9q^2 \end{eqnarray*}$

Nach dem Ausklammern der Binomischen Formel die gleichen variabel zusammenfassen.
Danach sollte der erste Nenner so aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{}{+30pq^2+25p^2+9q^2} \end{eqnarray*}$

In dieser Summe versteckt sich eine Binomische Formel. Folglich sieht der erste Bruch wie folgt aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{16pq^4-81q^4}{(5p+3q^2)^2} \end{eqnarray*}$

Nun sehen wir uns den zweiten Bruch an. Im Zähler können wir nichts kürzen können aber jedoch die Summe in ein Produkt umwandeln für späteres kürzen. Im Nenner können wir mit 2p kürzen.

Folglich sieht der zweite Bruch wie folgt aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{1(2p+3)}{2p(4p^2+9q^2)} \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns noch den dritten Bruch an.

Im Zähler können wir mit der Zahl 3 Kürzen. Im Nenner wandeln wir die Summe wider in ein Produkt um, um später Kürzen zu dürfen.

Folglich sieht der dritte Bruch wie folgt aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{3(2p+3)}{1(5p+3q^2)} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir alle drei Brüche gekürzt und Multiplizieren den ersten mit dem zweiten Bruch das sieh wie folg aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{16p^4-81q^4 \cdot 1(2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2(4p^2+9q^2)} \end{eqnarray*}$

Unter Anwendung der Sonderregel. Kürzen wir nun die Potenzen mit der gleichen Basis, die im Zähler und Nenner Vorkommen durch subtrahieren. Auch Zahlenwerte kürzen wir, indem wir Zahlen im Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.

Folglich sieh das zwischen Ergebnis so aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{4p^2-9q^2 + 1(2p+3)}{(5p+3q^2)^2 + 2p} \end{eqnarray*}$

Dieses müssen wir nun noch durch den dritten Bruch teilen. Man sollte hier die Regel für das divideren zweier Brüche nicht vergessen. Dan sieht das folgender massen aus.

$\begin{eqnarray*} \frac{4p^2-9q^2 + 1(2p+3) \cdot 1(5p+3q^2)}{(5p+3q^2)^2 + 2p \cdot 3(2p+3)} \end{eqnarray*}$

Nun kürzen wir wider alles was geht. Achtung Binomische Formel im Nenner Beachten. Dann sollte es wie folgt aussehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{4p^2-9q^2}{(5p+3q) +2p\cdot 3} \end{eqnarray*}$

Im Zähler versteckt sich noch die dritte Binomische Formel und im Nenner müssen wir noch eine Multiplikation ausführen. Danach erhalten wir das Resultat smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{(2p + 3)\cdot (2p-3)}{6p(5+3q^2)} \end{eqnarray*}$

@Sulo ich hoffe dass die Rechnung und die Erklärung stimmt? Bitte dich sonst mich zu korrigieren. Mir gefällt das Forum gut und auch der Gedanke dass man nur Tipps bekommt und nicht komplette Lösungen, denn nur so lernt man letztendlich etwas.

Ich habe mich sehr bemüht eine schritt für schritt Lösung zu schreiben und den Thread nicht ungelöst oder unbeantwortet zu lassen, weil ich es immer wider schade finde dass man viele Threads findet die unbeantwortet sind. Ich bin der Meinung dass wen man gute Tipps oder Ratschläge bekommt und man die Lösung herausfindet diese dann auch höflicher weise für die anderen Forum Leser posten sollte.

Ich hoffe konnte ein par Leute mit der Lösung eine kleine Freude machen Prost

Prost

25.03.2013, 19:13

sulo

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Hallo,

ich sehe, dass du die richtige Lösung erhalten hast. Toll auch, dass du alles mit Latex aufgeschrieben hast. Freude

Freude

Somit hast du es richtig gedacht. Freude

Freude

Allerdings fehlen ein paar notwendige Klammern, die ich mal einfüge, und teilweise hast du ein + stehen, wo ein · hingehört. So sieht es besser aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(16p^4-81q^4 )\cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p(4p^2+9q^2)} \end{eqnarray*}$ edit: Ein fehlendes p eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p} ~ \end{eqnarray*}$ edit: Ein übersehenes + durch · ersetzt.

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) \cdot (2p+3) \cdot (5p+3q^2)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p \cdot 3(2p+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4p^2-9q^2}{(5p+3q) \cdot 2p\cdot 3} \end{eqnarray*}$

Das Resultat stimmt dann wieder.

smile

smile

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25.03.2013, 19:20

algebraisch

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Danke dir für das setzten der fehlender Klammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gott

Endlich habe ich das richtige Resultat erhalten

25.03.2013, 19:30

sulo

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Freut mich, dass du es so gut verstanden hast. Freude

Freude

Wink

25.03.2013, 19:57

spiritx

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Sehr schön aufgeschrieben algebraisch Freude

Freude

Ich hätte aber 2 Fragen ich überseh was

$\begin{eqnarray*} \frac{(16p^4-81q^4 )\cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2(4p^2+9q^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 + 2p} \end{eqnarray*}$

bei dem +2p gehört normal ein * hin oder ? und warum kürtzt sich das p nicht auch raus ?

25.03.2013, 20:01

sulo

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Zitat:

Original von spiritx
bei dem +2p gehört normal ein * hin oder ?

Ja, das habe ich übersehen beim Korrigieren. Werde es nachtragen.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit. Freude

Freude

Zitat:

Original von spiritx
und warum kürtzt sich das p nicht auch raus ?

Dazu braucht man p als einzelnen Faktor im Zähler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.03.2013, 20:09

algebraisch

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@spiritix freut mich dass es dir gefällt.

Betreff deinen 2 Fragen.

Leider ist mir ein Tippfehler unterlaufen ja das 2p kürzt sich natürlich auch weg. Es sollte so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2} \end{eqnarray*}$

25.03.2013, 20:13

sulo

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Nein, das p bleibt.

Womit soll es denn gekürzt werden? verwirrt

verwirrt

25.03.2013, 20:13

spiritx

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Die Orginalaufgabe war doch 8p³+18pq²

wenn du da p ausklammerst müsste es doch so heißen 2p(4p²+9q²)

wenn ich mich jetzt nicht irre verwirrt

verwirrt

25.03.2013, 20:26

sulo

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Ja, das fehlende p im ersten Bruch habe ich nicht gesehen (ich hatte bei der Durchsicht nicht so sehr darauf geachtet, weil die Lösung ja richtig war), ich habe es jetzt eingefügt.

Man kann aber auch sehen, dass es nur ein Tippfehler war, weil das p im folgenden Bruch schon wieder auftaucht.

Vielleicht beantwortet es deine Frage.

smile

smile

25.03.2013, 20:33

spiritx

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Ja Sulo aber ich hatte die Aufgabe vorhin mal mit Zahlen eingeben und da kam beides mal das richtige raus verwirrt

verwirrt

Ich guck sie mir morgen nochmal an.

$\begin{eqnarray*} \frac{(16p^4-81q^4 )\cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p(4p^2+9q^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p} \end{eqnarray*}$

aber so sollte es doch jetzt stimmen ? Das mit Faktor was du vorhin geschrieben hattest hab ich schon verstanden hab nur verzweifelt nach dem p gesucht^^

25.03.2013, 20:34

algebraisch

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@ sulo

Also ich sehe dass so (lasse mich aber gerne eines anderen belehren)

$\begin{eqnarray*} \frac{(16p^4-81q^4) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2(4p^2+9q^2)} = \end{eqnarray*}$

Also hier Kürze ich Im Zähler die 16 mit der 4. Und im Nenner kürze ich die Zahl 4 auch mit der 4 damit verfälsche ich den Bruch nicht, und auch die potenz p^4 im Zähler mit der potenz p^2.

Gleich wie mit der -81q^4 im Zähler wo ich mit der 9q^2 im Nenner kürze einfach mit der Zahl 9. Und weil vor der Klammer noch die 2 war bleibt diese.

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2} = \end{eqnarray*}$

@spiritx Lies doch Bitte noch mal die schritt für schritt Erklärung durch dann siehst du wie sich das gewandelt hat

25.03.2013, 20:38

sulo

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@algebraisch

Nein, du kannst nicht einfach Summanden kürzen, es steckt viel mehr ein Binomi dahinter:

$\begin{eqnarray*} \frac{(16p^4-81q^4) \cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p(4p^2+9q^2)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(4p^2-9q^2) (4p^2+9q^2)\cdot (2p+3)}{(5p+3q^2)^2 \cdot 2p(4p^2+9q^2)} = \end{eqnarray*}$

Erst jetzt kannst du kürzen, nämlich die beiden Faktoren (4p² + 9q²), die im Zähler und im Nenner stehen.
Ich war davon ausgegangen, dass dir das klar ist und du dir den Schritt mit der Zerlegung von a² - b² in (a + b)(a - b) nur einfach gespart hast.

smile

smile

25.03.2013, 20:43

algebraisch

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@sulo

LOL Hammer

klar habe ein totales durcheinander habe heute zuviel gelernt ja ist ja die 3 binomische Formel die ich gekürzt habe wie du schon sagst dass selbe wie ich am Schluss der Rechnung mit 4q^2-9q^2 gemacht habe

25.03.2013, 20:46

sulo

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Ja eben, ich dachte mir schon, dass du es richtig gemacht hattest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Aufschreiben ist bloß eine etwas komplizierte Angelegenheit, da passieren doch schon mal Fehler, die man trotz Vorschau erst später entdeckt.

Wie gesagt: Dein Ergebnis stimmte ja von Anfang an:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2p + 3)\cdot (2p-3)}{6p(5+3q^2)} \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

smile

25.03.2013, 20:52

spiritx

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Dann hat es ja noch was gebracht das ich nachgefragt hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mein p ist aber wieder untergegangen ^^

Naja ist ja jetzt geklärt. Danke Sulo smile

smile

Wink

25.03.2013, 20:54

algebraisch

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Ja da passieren schnell Fehler und dies erst recht wenn man versucht eine gute Erklärung zu schreiben und man auch noch gleichzeitig das erste mal sich mit dem Formeleditor herumschlägt.

Aber irgendwie gefällt mir diese Rechnung die ist nicht auf den ersten blick lösbar also mal zumindest nicht bei mir Big Laugh

Big Laugh

25.03.2013, 20:58

sulo

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Schön, wenn jetzt allgemein Zufriedenheit herrscht. smile

smile

@spiritx
Danke für das aufmerksame Lesen.

@algebraisch
Ja, ich fand die Aufgabe auch ganz interessant. Manche Umformung lief doch anders, als man beim ersten Hinschauen erwartet hätte.

Wink

Wink

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