Komplizierte Taylorreihe

24.03.2013, 15:01

Verwirrter 1semester

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Komplizierte Taylorreihe

Meine Frage:
Hallo Ich habe Höhere mathematik und die taylorreihe. Normalerweise ist die kein problem für mich nur bin ich auf paar aufgabenstellungen gekommen die mir Kopfschmerzen geben. Die Aufgabe lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)(4x-1)} \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

Meine Ideen:
und ich weis das ich hier die geometrische reihe anwenden muss und vieleicht das cauchy produkt aber sonst weis ich nicht weiter, da ich kein plan von cauchy habe. Bitte hilft mir.

24.03.2013, 15:30

chrizke

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RE: Komplizierte Taylor reihe

Zitat:

Original von Verwirrter 1semester
Die Aufgabe lautet wie folgt:\frac{1}{(1+x)(4x-1)}

Das ist keine Aufgabenstellung. Das ist lediglich ein Bruch...

Bitte poste die ganze Aufgabenstellung und nutze die

code:
1: 2: 3:	[latex]...[/latex]

tags.

24.03.2013, 20:15

Verwirrter 1semester

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RE: Komplizierte Taylor reihe
Ich soll vom Bruch die Taylor reihe bestimmen.

24.03.2013, 21:20

chrizke

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Die gesamte Reihe oder nur das Polynom bis zu einem gewissen Grad? In welchem Punkt soll entwickelt werden?

Wie ist denn die Definition der Taylorreihe, was musst du berechnen?

29.03.2013, 00:19

Verwirrter 1semester

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Ehm die Teilerfunktion soll ich bestimmen, wie zb es eine unendliche geometrische summe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)(4x-1)} \end{eqnarray*}$ als eine summenformel gibt und die als Taylor funktion beschrieben wir (Das mit diesem riesen E mit dem unendlichheitszeichen oben drauf und danach steht da halt eine funktion) so eben. Hoffe das hatt geholfen. Ich soll sie in diese E summenzeichen form bringen.

Edit opi: LaTex korrigiert (sonst nichts!). Die endende LaTex-Klammer muß einen slash enthalten.

29.03.2013, 00:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von Verwirrter 1semester
Das mit diesem riesen E mit dem unendlichheitszeichen oben drauf und danach steht da halt eine funktion

Dieser Satz lässt darauf schließen, dass du nicht die geringste Ahnung davon hast, was eine Taylor-Reihe tatsächlich ist.

Außerdem hast du immer noch nicht die äußerst wichtige Frage von chrizke beantwortet, in welchem Punkt denn entwickelt werden soll.
Auch sein "Bitte poste die ganze Aufgabenstellung" solltest du berücksichtigen. Es wäre wohl am hilfreichsten, wenn du die Aufgabenstellung im genauen Wortlaut preisgibst, denn die wird ja sicher nicht "Bringe den Bruch in diese E Summenzeichen Form" lauten.

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30.03.2013, 16:02

Verwirrter 1semester

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Die Frage stellung lautet: Bestimmen sie die Taylor-Reihe der folgenden Funktionen(gegebenfals stetig fortgesetzt) und geben sie and. wo diese konvergieren. Und ich weis was eine Taylorreihe ist. Ich habe halt nur probleme diese Funktion zu lösen. X_0 =0 wenn das auch noch notwendig ist.

30.03.2013, 16:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von Verwirrter 1semester
X_0 =0 wenn das auch noch notwendig ist.

Ah, na endlich. (und ja, das ist unbedingt notwendig!)

Beginne mit einer Partialbruchzerlegung.

30.03.2013, 16:57

Verwirrter 1semester

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Meinst Du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)}*\frac{1}{(-1+4x)} \end{eqnarray*}$ ? (habe es gleich in die richtige position gebracht)

Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=0}^n (-1)^v(x)^v *\frac{1}{(-1+4x)} \end{eqnarray*}$

Nächster schritt wäre dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=0}^n (-1)^v(x)^v * (\frac{1}{-1} * \frac{1}{(1-4x)}) \end{eqnarray*}$ (wenn das richtig ist)

Dann folgt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=0}^n (-1)^v(x)^v * (\frac{1}{-1} \sum\limits_{k=0}^n (4)^k (x)^k) \end{eqnarray*}$ (Klammern sind nur zur verdeutlichung.

Und ab hier habe ich kein plan mehr wie weiter.

30.03.2013, 17:33

Che Netzer

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Was wird das denn?
Der Ansatz zur Partialbruchzerlegung wäre hier
$\begin{eqnarray*} \frac1{(1+x)(4x-1)}\overset!=\frac A{1+x}+\frac B{4x-1} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

30.03.2013, 18:46

Verwirrter 1semester

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Aha Ok und weiter?

Ich wäre dann auf $\begin{eqnarray*} A \sum\limits_{v=1}^n -1^v x^v + \frac{B}{(-1+4x)} \end{eqnarray*}$ gekommen. ist das falsch oder richtig?

Und bevor du frägst man hat mir Taylor bestimmung so beigebracht.
Beispiel
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(7+x)} = \frac{2}{7} * \frac{1}{(1+\frac{x}{7})} = \frac{2}{7} \sum\limits_{v=0}^n \frac{(-1)^v}{7^v} x^v = 2 \sum\limits_{v=0}^n \frac{(-1)^v}{7^(v+1)} x^v \end{eqnarray*}$ (Bei der letzten teil sollte es durch 7^(v+1) sein

30.03.2013, 19:02

Che Netzer

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Was bitte soll denn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein?

Und wir wollen hier noch keine Reihen aufschreiben, sondern eine Partialbruchzerlegung durchführen.
Das bedeutet: Bestimme $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} \frac1{(1+x)(4x-1)}=\frac A{1+x}+\frac B{4x-1} \end{eqnarray*}$
gilt.

30.03.2013, 19:19

Verwirrter 1semester

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Dann würde ich A und B als 0,5 setzen oder 1/2 das macht dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{(1+x)} + \frac{\frac{1}{2}}{(4x-1)} \end{eqnarray*}$

Was zur folge hat das dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2+2x} + \frac{1}{(8x-2)} \end{eqnarray*}$

entsteht.

30.03.2013, 19:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von Verwirrter 1semester
Dann würde ich A und B als 0,5 setzen oder 1/2 das macht dann

Und wie kommst du auf diese Werte?
Wieso soll dann die genannte Gleichung gelten?

30.03.2013, 19:31

Verwirrter 1semester

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Zeig mir einfach mal wie du es machen würdest OK. Ich habe die klausur bis nächste woche und das ist das einzige was mir noch probleme bereitet, also bitte zeige mir den lösungsweg damit ich das mal nachvolziehen kann.

30.03.2013, 19:34

Che Netzer

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Wir rechnen hier nichts vor.
Es hilft dir also nicht, hier herumzujammern, anstatt zu versuchen, die beiden Parameter zu bestimmen.
Habt ihr nie die Partialbruchzerlegung besprochen?
Wenn nicht, warum sagst du dann nicht gleich, dass du den Begriff nicht kennst?
Wenn doch, warum führst du die nicht ordentlich durch?

30.03.2013, 19:42

Verwirrter 1semester

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Um erlich zu sein beim Taylor kamm nie die Partialbruchzerlegung besprochen. daher habe ich keine ahnung wie ich die parameter bestimmen kann und soll. Wäre dankbar für eine demonstration oder erklärung wie es geht.

30.03.2013, 19:44

Che Netzer

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Partialbruchzerlegung ist auch kein Teilgebiet der "Theorie von Taylor-Reihen" oder so.

Eigentlich ist die Idee ganz einfach:
Bestimme $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} \frac1{(1+x)(4x-1)}=\frac A{1+x}+\frac B{4x-1} \end{eqnarray*}$
gilt.

Multipliziere dazu z.B. mit dem Nenner der linken Seite und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

30.03.2013, 20:20

Verwirrter 1semester

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Meinst du so etwa:

$\begin{eqnarray*} 1 = A(4x-1) + B(1+x) \end{eqnarray*}$

Wenn ja wäre dass doch:

$\begin{eqnarray*} 1 = 4Ax - A + B + Bx \Rightarrow 1 = x(4A + B) + (B - A) \end{eqnarray*}$

Richtig?

30.03.2013, 20:23

Che Netzer

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Ja, genau.
Das entstehende Gleichungssystem kannst du nun lösen.
Wenn dir das nicht gefällt, kannst du in
$\begin{eqnarray*} 1 = A(4x-1) + B(1+x) \end{eqnarray*}$
auch $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac14 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

30.03.2013, 20:30

Verwirrter 1semester

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Nee lass mal der x wert interesiert uns hier net. das andere gefällt mir besser, nun was jetzt? setze ich jetzt (B-A) = 1 ein? denn ich habe hier keinen x wert auf der anderen seite

30.03.2013, 21:02

Che Netzer

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Ja, du erhältst $\begin{eqnarray*} B-A=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4A+B=0 \end{eqnarray*}$ .

30.03.2013, 21:13

Verwirrter 1semester

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Das macht dann B=4/5 und A = -1/5 korrekt?

30.03.2013, 22:17

Che Netzer

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Genau.
Wie kannst du jetzt also den Term $\begin{eqnarray*} \frac1{(x+1)(4x-1)} \end{eqnarray*}$ darstellen bzw. zerlegen?

30.03.2013, 22:23

Verwirrter 1semester

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$\begin{eqnarray*} \frac{-\frac{1}{5}}{1+x} + \frac{\frac{4}{5}}{4x+1} \Rightarrow -\frac{1}{5+5x} + \frac{4}{20x+5} \end{eqnarray*}$

Und davon dann den Taylor ziehen nehme ich mal an.

30.03.2013, 22:32

Che Netzer

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Etwas wie "Taylor ziehen" gibt es zwar nicht, aber vermutlich kommst du mit dieser Darstellung besser zurecht.
Was erhältst du dann im nächsten Schritt?

30.03.2013, 22:45

Verwirrter 1semester

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5}\sum\limits_{v=0}^n \frac{x^v}{5^v} + -\frac{4}{5} \sum\limits_{v=0}^n 4^v x^v \end{eqnarray*}$

Folge:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5}\sum\limits_{v=0}^n \frac{x^v}{5^v} - \frac{4}{5} \sum\limits_{v=0}^n 4^v x^v \end{eqnarray*}$

Nächster schritt:

$\begin{eqnarray*} (-1)\sum\limits_{v=0}^n \frac{x^v}{5^{v+1}} - \sum\limits_{v=0}^n \frac{ 4^{v+1} x^v}{5} \end{eqnarray*}$

...ist das jetzt richtig?

30.03.2013, 22:47

Che Netzer

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein?
Und überhaupt sieht das ziemlich falsch aus.

Und suchst du vielleicht das Zeichen $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ ?

30.03.2013, 23:11

Verwirrter 1semester

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n soll für unendlich stehen ich find halt das zeichen net und ja ich meine dieses Zeichen $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ und wieso sieht das falsch aus, ich soll mein ergebniss in dieser schreibweise aufschreiben. Mit dem summen zeichen.

30.03.2013, 23:15

Che Netzer

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Das Unendlich-Zeichen erhältst du mit \infty.

Und als Gegenfrage: Wieso sollte das richtig sein?
Du hast das mit keinem Wort begründet.
Bringe beide Summanden mal auf die Form $\begin{eqnarray*} a\frac1{1-bx} \end{eqnarray*}$ .
(und korrigiere dabei auch den Vorzeichenfehler in $\begin{eqnarray*} 4x+1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 4x-1 \end{eqnarray*}$ )

30.03.2013, 23:44

Verwirrter 1semester

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5} \frac{1}{1+\frac{x}{5}} + -\frac{4}{5} \frac{1}{1-4x} \end{eqnarray*}$

Tya und dann kommt dann halt das raus was ich zuvor geschrieben habe

30.03.2013, 23:51

Che Netzer

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Nein, das ist nämlich noch falsch.
Genauer gesagt ist der erste Bruch falsch.

30.03.2013, 23:59

Verwirrter 1semester

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Was ist an dem falsch?

31.03.2013, 00:07

Verwirrter 1semester

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Warte habe den fehler geshen.
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5} \frac{1}{1+x} + -\frac{4}{5} \frac{1}{1-4x} \end{eqnarray*}$

das macht dann

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5} \sum\limits_{\nu=0}^\infty (-1)^\nu v^\nu - \frac{4}{5} \sum\limits_{\nu=0}^\infty 4^\nu x^\nu \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte es richtig sein oder.

31.03.2013, 00:23

Che Netzer

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Das sieht schon besser aus, jetzt fasse die beiden Reihen zusammen.

31.03.2013, 00:40

Verwirrter 1semester

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hmmm....huch das sollte ein x und kein nu sein.

$\begin{eqnarray*} (-1) \sum\limits_{\nu=0}^\infty \frac{(-1)^\nu x^\nu}{5} - 4\sum\limits_{\nu=0}^\infty \frac{4^\nu x^\nu}{5}<br /> \end{eqnarray*}$

dann ware das wohl

$\begin{eqnarray*} (-1-4) \sum\limits_{\nu=0}^\infty ( \frac{(-1)^\nu - 4^\nu}{5})x^\nu<br /> \end{eqnarray*}$

und wenn noch ein fehler da ist sage es mir bitte direkt was es ist. Danke für all die mühe die du aufnimmst um mir das beizubringen.

31.03.2013, 00:47

Che Netzer

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Das wäre eher $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu=0}^\infty\frac{(-1)^{\nu+1}-4^{\nu+1}}5x^\nu\,. \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 00:55

Verwirrter 1semester

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das wäre eher $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu=0}^\infty\frac{(-1)^{\nu+1}-4^{\nu+1}}5x^\nu\,. \end{eqnarray*}$

Danke

Tränen

du weißt gar net wie du mir geholfen hast. und scheiß aufwendig war das, hoffe echt sowas kommt echt net in der klausur dran. Aber besser vorsicht als nachsicht.

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