Konvergenzradius

24.03.2013, 16:33

AmazingSam

Konvergenzradius

Stehe vor folgender Aufgabe

Berechnen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2^n+3^n)z^n \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{(2^n+3^n)z^n}= z \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{(2^n+3^n)} \end{eqnarray*}$

ich bin mir nicht sicher ob ich bis hier hin richtig vorgegangen bin (wie üblich wahrscheinlich nicht). Meiner Meinung nach muss ich jetzt noch schauen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{(2^n+3^n)} \end{eqnarray*}$ gegen was der konvergiert oder nicht?

24.03.2013, 16:35

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Ah, diesmal gibt es auch eine Aufgabe.

Zunächst einmal hast du den Betrag vergessen, als du $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ unter die Wurzel geschrieben hast.
Danach müsstest du den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^n+3^n} \end{eqnarray*}$ bestimmen, ja.
Hast du dazu eine Idee?

24.03.2013, 19:01

AmazingSam

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ich habe eben versehentlich auf den falschen Button geklickt smile

.

also heißt das, dass da eigentlich $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|z^n(2^n+3^n)| } \end{eqnarray*}$ stehen müsste? Durch die n-te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ kürzt sich das n in den Exponenten doch heraus oder? Das heißt doch das ich am Ende eigentlich nur noch 2+3 da stehen habe. Nur konvergiert meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(2^n+3^n)} \end{eqnarray*}$ gegen 3 wenn ich für n immer größer werdende Zahlen einsetze.

24.03.2013, 20:07

Che Netzer

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Zitat:

Original von AmazingSam
Durch die n-te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ kürzt sich das n in den Exponenten doch heraus oder? Das heißt doch das ich am Ende eigentlich nur noch 2+3 da stehen habe.

Stellst du da etwas komisches wie $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]a+\sqrt[n]b \end{eqnarray*}$ an?

25.03.2013, 13:18

AmazingSam

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ehm ja^^. Wie wäre das denn richtig?

25.03.2013, 13:21

Che Netzer

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Benutze den Dreifolgensatz bzw. das "Sandwich-Lemma", um $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Dass es Drei ist, hast du ja bereits vermutet.

25.03.2013, 14:30

AmazingSam

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Sorry, aber das hatten wir noch nicht^^. Mit dem was ich in der Uni bisher duchgenommen habe könnte ich hier wenn dann mit der "Formel von Hadamard", dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium fortfahren

25.03.2013, 14:37

Che Netzer

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Ich bin mir sicher, dass ihr den Dreifolgensatz hattet:
Es sind drei Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ gegeben.
Wenn dann $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n\leq c_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} \lim a_n=\lim c_n \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen denselben Grenzwert.

Praktisch: Schätze $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^n+3^n} \end{eqnarray*}$ nach oben und unten gegen Terme ab, die denselben Grenzwert haben.

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