Potenzgesetze komplexe Zahlen

24.03.2013, 19:42

Reimu

Potenzgesetze komplexe Zahlen

Ich habe Probleme damit, was an den Potenzgesetzen in den komplexen Zahlen noch funktioniert und was nicht. Google spuckt dabei eine Menge "wie rechne ich die Wurzel einer komplexen Zahl aus" aus und Wikipedia hat mir irgendwie auch nicht viel weiter geholfen.

Es geht um rationale Exponenten bei denen die Basis (zumindest eine) nicht aus den positiven reellen Zahlen stammt. Der einfachste Fall sind ganzzahlige Exponenten, bei denen eigentlich alles noch gelten sollte? Also explizit (wobei ich 0^0 aussen vor lasse)

$\begin{eqnarray*} a^r\cdot b^r=(ab)^r,\quad a^{r+s}=a^r\cdot a^s,\quad (a^r)^s=a^{r\cdot s}\quad a,b\in\mathbb{C}\setminus \{0\},~r,s\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Falls jetzt aber rationale Exponenten ins Spiel kommen wird die Sache nicht mehr so klar. In dem allseits beliebten Beispiel

$\begin{eqnarray*} 1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}\neq \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i²=-1 \end{eqnarray*}$

lernt man schnell, mit Potenzgesetzen im Komplexen etwas vorsichtiger zu sein. Nun kommen aber auch viele Fälle vor, bei denen dies trotzdem immer funktioniert. So ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-r_1}\cdot \sqrt{r_2}=\sqrt{-r_1r_2}\quad r_1,r_2\in\mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

Sehr praktisch wäre eine Anschauung bzw intuitives Verständnis, weshalb es in manchen Fällen funktioniert und weshalb in anderen nicht. Ich will nicht $\begin{eqnarray*} i^i=e^{-\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ ausrechnen sondern "nur" für das alltägliche Rechnen verstehen, wann ich, selbst wenn komplexe Zahlen vorkommen, einfach "normal" mit den Potenzgesetzen rumfuhrwerken kann.

Als Zusatzanmerkung: Das Problem entstand, als bei der Mitternachtsformel für x²+2x+5=0 das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} \end{eqnarray*}$ heraus kam und mir auffiel, dass ich gerne kürzen würde, bevor ich die Wurzel ausrechne (auch wenn das nicht viel Vorteil bringt). Mein "danger danger Wurzel im Komplexen" im Gehirn ließ mich aber dann wundern, wann das eigentlich einfach so geht und wann nicht.

25.03.2013, 08:52

klarsoweit

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RE: Potenzgesetze komplexe Zahlen
Eigentlich läßt sich dein Problem mit einer einzigen Frage zusammenfassen:
Was ist die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl?

Antwort 1: innerhalb der reellen Zahlen ist diese nicht definiert.
Antwort 2: innerhalb der komplexen Zahlen ist diese nicht eindeutig definiert.

Die Wurzel aus -1 ist eben gleich i oder -i. Denn beides quadriert ergibt -1. Folglich muß man beim Rechnen mit komplexen Zahlen immer im Hinterkopf behalten, daß ein Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{-16} \end{eqnarray*}$ immer für zwei Werte steht.

25.03.2013, 15:19

Reimu

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Danke für die Antwort smile

Ich dachte bisher immer, man wählt (ähnlich zu den reelllen Zahlen, bei denen immer die positive Lösung genommen wird) als die Wurzel das Element mit geringstem Argument, also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{z}:=\sqrt{|z|}\cdot e^{i\cdot\min\{\arg(t)~|~t²=z\}} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} arg(z)\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$
Wenn ich mich hier bereits irre, so so würde sich die Frage ändern auf "Wieso macht man es nicht so, was geht schief?" Big Laugh

Das hilft der Anschauung bereits etwas, im Beispiel von

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}\neq \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i²=-1 \end{eqnarray*}$

verändert man bei der Aufteilung die Auswahl und kommt, statt bei der gewünschten Lösung Eins, ber der anderen Möglichkeit von $\begin{eqnarray*} x²=1 \end{eqnarray*}$ , also der "anderen, eigentlich unterbundenen" Version von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ heraus

Passieren Probleme immer nur auf diese Weise? Dann könnte man alle Umformungen durchführen, die dieses Phänomen nicht verursachen.

29.03.2013, 14:37

Reimu

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Kann vielleicht jemand noch kurz etwas dazu sagen? smile

Die erste Antwort hat bereits etwas geholfen, allerdings das Problem noch nicht aus der Welt geschafft.

29.03.2013, 16:52

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garstiges Thema Augenzwinkern

erschöpfend kann ich keine Auskunft geben. Ursache ist letztlich die Mehrdeutigkeit des Argumentes einer komplexen Zahl.

Wenn du einen Zweig des Arguments gewählt hast, also z.B. $\begin{eqnarray*} arg(z)\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} a^r\cdot b^r=(ab)^r \end{eqnarray*}$ jedenfalls immer dann, wenn $\begin{eqnarray*} arg(ab)=arg(a)+arg(b) \end{eqnarray*}$ (*) gilt.
Anschaulich darf also die Summe der beiden Argumente nicht so groß werden, dass sie aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ fällt. Das ist aber z.B. für $\begin{eqnarray*} a=b=-1 \end{eqnarray*}$ der Fall.

$\begin{eqnarray*} a^r\cdot b^r=(ab)^r \end{eqnarray*}$ gilt übrigens genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \exp(i\ r\ arg(ab)) = \exp (i\ r\ (arg(a)+arg(b))) \end{eqnarray*}$ gilt.
Das ist unhandlicher als (*) aber dafür eine genaue Bedingung.

Beispiel2 Für $\begin{eqnarray*} r_1,r_2>0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} arg(-r_1r_2)=\pi,\ arg(-r_1)+arg(r_2)=\pi+0 \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 14:37

Reimu

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Danke! Ich denke, jetzt verstehe ich das Problem weit genug. Sicherlich muss ich noch weiter darüber lesen und nachdenken, aber der Kern und ausreichend Ansatzpunkte sich nun vorhanden Wink

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