Satz von Gauß

24.03.2013, 19:55	SecretWindow	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß Hallo verstehe folgende Umformumg nicht: Es sei F und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ integrierbar und differenzierbar, ferner habe $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ kompakten Träger $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^3} F(x-y) \partial_{x_i} \phi(x) dx = \lim_{r \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^3/ B_r(y)} F(x-y) \partial_{x_i} \phi(x) dx = \lim_{r \rightarrow 0} [\int_{\mathbb{R}^3/ B_r(y)} \partial_{x_i} F(x-y) \phi(x) dx - \int_{\partial B_r(y)} n_i(x) F(x-y) \phi(x) d\sigma(x)] \end{eqnarray}$ letzter Schritt soll wg. dem Satz von Gauß sein, es handelt sich um die i-te Komponente der Einheitsnormale. Irgendwie checke ich nicht woher das Minus kommt bzw. dies letztere Differenz und warum man diese Umformung überhaupt macht, man der letzte Term verschwindet dann eh, wenn man weiß was F ist. Ich kann ja nochmal ins Detail gehen wenn nötig.
25.03.2013, 12:15	SecretWindow	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mal ne Frage der Sinn der Rechnung ist zu zeigen, dass die Fundamentallösung der homogenen Helmholtzgleichung eine schwache Ableitungbesitzt. F ist hier die Fundamentallösung. Warum schreibt man denn dieses Integral um, zu einem Integral auf R^3 und nimmt einen Ball raus?? Was ist da denn der Vorteil?? Übrigens ist es ein Doppelintegral, eigentlich müsste nochmal über R^3 nach dy integriert werden. Bitte helft mir ich habe in einer Woche eine wichtige Prüfung; Ich poste gerne nochmal genauer....
25.03.2013, 12:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht genau wie die Fundamentallösung der Helmoltzgleichung aussieht, aber ich tippe einmal sie (oder ihre Ableitung) hat bei 0 eine Singularität. Wenn das der Fall ist, darfst du nicht einfach mit Gauß die Ableitung rüberwerfen, du musst diese Stelle separat behandeln. Das tut man hier, indem man den Ball rausnimmt und den Radius danach gegen 0 schickt.
25.03.2013, 14:08	SecretWindow	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut getippt! In der Tat liegt eine Singularität vor bei 0. Aber wieso nehme ich den Ball um y und nicht um 0 raus?? Zudem könnte ich doch einfach partiell integrieren und so die ableitung rüberschicken, denn \phi hat einen kompakten Träger. Noch eine Frage: Ist der Rand eines Gebietes ohne Ball $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb{R}^3, \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \Omega / B_ r(y) \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \partial \Omega \cup \partial B_r(y) \end{eqnarray}$ ??
25.03.2013, 14:29	SecretWindow	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah klar denn Ball nehme ich raus wg. F(x-y) = F(0), falls x=y. Ok.
25.03.2013, 15:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
\phi hat kompaten Träger, damit ist für y groß genug \phi(y) bereits 0 und dann darfst du gedankenlos partiell integreiren. Das sagt dir aber nicht, was für kleine y passiert. Wichtig ist, dass phi kompakten Träger in R^3 und nicht R^3 \ B_r(y) hat. Sonst würdest du natürlich keinen Randterm bekommen. Und ja, der Rand stimmt für das Gebiet Omega. Wobei man mit der äußeren Normale etwas aufpassen muss.
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