Gleichmäßige Stetigkeit auf einem offenen Intervall

25.03.2013, 11:29

Stephan123

Gleichmäßige Stetigkeit auf einem offenen Intervall

Hallo,

folgende Aufgabe bearbeite ich gerade:

Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ endlich und $\begin{eqnarray*} f : (a,b) \to ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a+} f(x) = f(a+) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to b-} f(x) = f(b-) \end{eqnarray*}$ existieren.

Meine Idee:

Erstmal würde ich gerne $\begin{eqnarray*} "\Leftarrow" \end{eqnarray*}$ zeigen:

$\begin{eqnarray*} I := (a,b) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} g : [a,b] \to ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(I) = f(I) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(a) = f(a+) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g(b) = f(b-) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist auch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig. Da $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a+} f(x) = f(a+) \end{eqnarray*}$ existiert, existiert auch $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a} g(x) = g(a) \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stetig, analog ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stetig. Somit ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung. Nach einem Satz ist sie also auch gleichmäßig stetig. Also ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig.
Ich hoffe, dass das so in Ordnung geht.

Bei $\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$ komme ich nun nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} y := x + \frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} |x-y| = |x-x-\frac{\delta}{2}| = \frac{\delta}{2} < \delta \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} 0 < \delta < \frac{1}{2} |x-b| \end{eqnarray*}$ beliebig.
Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit folgt nun:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists \delta : \forall x,y \in (a,b) :|f(x) - f(x+\frac{\delta}{2})| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Da dies für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, muss es auch für folgenden Grenzwert gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a+} |f(x) - f(x+\frac{\delta}{2})| < \epsilon\Leftrightarrow | \lim \limits_{x \to a+} f(x) - f(a+\frac{\delta}{2})| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun tritt mein Problem auf, kann ich nun folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a+} f(x) \end{eqnarray*}$ existieren muss? Ich könnte es ja damit begründen, dass wenn der Grenzwert nicht existiert, das $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ beim Grenzwertprozess dann immer wieder verschiedene Werte aus einem Intervall $\begin{eqnarray*} [e,f] \end{eqnarray*}$ annehmen wird, somit ließe sich auch ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ finden, sodass die Differenz im Betrag größer wäre als das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Anderfalls gäbe es noch die Möglichkeit, dass $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a+} f(x) = \pm \infty \end{eqnarray*}$ . Dann wäre die Diefferenz im Betrag aber größer als jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Kann man das auf diese Weise begründen, oder braucht man einen anderen Weg?
Schon mal besten Dank fürs lesen smile

25.03.2013, 13:15

Che Netzer

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit auf einem offenen Intervall
Die Rückrichtung geht so, nur ein paar Formulierungen wie $\begin{eqnarray*} f(I)=g(I) \end{eqnarray*}$ sind nicht ganz eindeutig.

Zur "Hinrichtung":
Die sieht etwas wirr aus.
Nimm dir eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)\subset(a,b) \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert und zeige, dass $\begin{eqnarray*} (f(x_n)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist.

26.03.2013, 10:04

Stephan123

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Hallo,
erstmal danke für die Antwort.

Ich versuche dann $\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$ nochmal zu zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} x_{n} = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n} \in (a,b) \forall n \in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ auch eine Cauchy-Folge, also:
$\begin{eqnarray*} \forall \delta >0 \exists n_{0} : \forall n,m \geq n_{0} : |x_{n} - x_{m}| < \delta \end{eqnarray*}$
Wegen gleichmäßiger Stetigkeit folgt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta > 0 : \forall x_{n},x_{m} \in (a,b) : |x_{n} - x_{m}| < \delta \Rightarrow |f(x_{n}) - f(x_{m})| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_{0} : \forall n,m \geq n_{0} : |f(x_{n}) - f(x_{m})| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge und es existiert $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} f(x_{n}) = c \end{eqnarray*}$ für alle Folgen mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Und damit existiert dann auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to a+} f(x) = f(a+) \end{eqnarray*}$ . Analog würde man das dann für b zeigen.

Wäre das so in Ordnung?
Mich würde auch interessieren, an welcher Stelle es bei meinem ersten Versuch genau hapert, bei dem Bilden des Grenzwertes?

26.03.2013, 10:07

Che Netzer

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Ja, so funktioniert das.

Zitat:

Original von Stephan123
Mich würde auch interessieren, an welcher Stelle es bei meinem ersten Versuch genau hapert, bei dem Bilden des Grenzwertes?

Ich weiß gar nicht, was du da angestellt hast. Da tauchten plötzlich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ aus dem Nichts auf...

26.03.2013, 12:01

Stephan123

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ich weiß gar nicht, was du da angestellt hast. Da tauchten plötzlich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ aus dem Nichts auf...

Alles klar, danke. Ja jetzt wo ich mir das nochmal ansehe hätte ich da ein paar Dinge mehr zu schreiben sollen. Ist jetzt aber auch egal.

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