Lineare Abbildung

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Hantel Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung
Hallo,

da ich den Zusammenhang zwischen einer linearen Abbildung und ihrer Matrixdarstellung auch noch einem guten halben Jahr nicht verstehe, hapert es für mich an folgender Aufgabe:



Aufgabe: a) Berechnen sie die darstellende Matrix M(f;A,B).
b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von Bild u. Ker f.

Zu a) Es wird mir nicht ganz klar, wie ich hier vorgehen soll. Soll ich die Funktion f einfach auf beide Basen anwenden, und notieren, was dabei rauskommt?
Zu b) Es erscheint mir am einfachsten zu zeigen, welche Dimension der Kern hat, und dann über den Dimensionssatz zu argumentieren. So ok?

Danke für jede Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Basis des und eine des . Um nun die darstellende Matrix bezüglich und zu bestimmen, mußt du nur der Reihe nach auf die Vektoren von anwenden und die Ergebnisvektoren als Linearkombinationen bezüglich der Basis schreiben. Die Koeffizienten trägst du dann in die Spalten der Matrix ein:

Ich beginne einmal mit dem ersten Vektor von :



Wenn du nun die Koordinaten vergleichst, mußt ein lineares Gleichungssystem lösen:





Du bekommst und . Und damit hast du schon die erste Spalte der Darstellungsmatrix:



Und jetzt du mit den beiden anderen Spalten.
Hantel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leupold!

Habe das jetzt mit deiner Anweisung lösen können, als:



Verständnisfrage: Das ist jetzt nichts anderes als die lineare Abbildung f, angewandt auf Basis A, ausgedrückt in Basis B, oder?

Ich soll nun im zweiten Aufgabenteil - ich hatte das oben ausgespart, sorry - folgende Frage beantworten: (i) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und (ii) die Dimension des Kerns & Bildes von f.
Worauf will (i) hinaus? Soll ich M(f;A,B) jeweils auf A & B anwenden, und die resultierenden Spalten als Basisvektoren angeben?
Hantel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hantel
Vielen Dank Leupold!


Oh, entschuldige bitte. Das hat sich da eingeschlichen! Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist unglücklich formuliert. Du sollst

i) für Kern und Bild jeweils eine Basis angeben.
ii) für Kern und Bild jeweils die Dimension angeben.

Na ja, mit i) hast du natürlich auch ii).
Hantel Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal bestimme ich jetzt den Kern, um das zu erreichen stelle ich ein Gleichungssystem auf, dass ich auf den Nullvektor 'ziele'.



Wie ermittle ich daraus jetzt das Bild von f? Am einfachsten würde es mir erscheinen, man nimmt sich den gesamten und exkludiert den Span von Kerf, quasi:



Aber das ist vllt ein bisschen zu analog zum Dimensionssatz, was meinst du: Irgendwas halbwegs anständiges passiert in meinen Rechnungen?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

1. Das Ergebnis für den Kern stimmt. Den Lösungsweg kann ich wegen ineinander geschriebener Gleichungen nicht nachvollziehen. Allerdings sollte man bei der erstbesten Lösung nicht stehenbleiben. Hast du kein Empfinden für Ästhetik? Warum nimmst du nicht das 13fache deines erzeugenden Vektors?

2. Das Ergebnis für das Bild ist jedoch ganz falsch. Das muß doch im Zielraum liegen und nicht im Urbildraum . Ich würde da auch gar nicht so viel rechnen. Nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen gilt, wenn den Kern und das Bild bezeichnet:



Konkret:



Was muß also das Bild sein?
Hantel Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild muss zwei-dimensional sein, mehr konnte ich deiner Dimensionsformel jetzt nicht entnehmen, ich hatte jetzt vor:

  • Die Basisvektoren von A durch f abzubilden, und dann den einen linear abhängigen Vektor zu streichen
  • Die beiden übrigen Vektoren als Basis des Bildes zu bezeichnen.


Schlechter Plan? Nicht die richtige Herangehensweise?




PS: Mich der Unempfänglichkeit für Ästhetik zu bezichtigen stellen wir hintenan, die Zuwendung zur 1 ist in meinen Augen vertretbar!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Warum machst du es dir so kompliziert? Das Bild ist 2-dimensional, der Zielvektorraum ist ebenfalls 2-dimensional, also gleich dem Bild. Deshalb kannst du jede beliebige Basis von als Basis des Bildes nehmen.
Hantel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Warum machst du es dir so kompliziert? Das Bild ist 2-dimensional, der Zielvektorraum ist ebenfalls 2-dimensional, also gleich dem Bild. Deshalb kannst du jede beliebige Basis von als Basis des Bildes nehmen.


Alles klar, vielen Dank für eure Hilfe.
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