Triviale Integral Abschätzung

25.03.2013, 14:45

SecretWindow

Triviale Integral Abschätzung

Mal ne einfache Frage, ich will mich nur absichern für meine Prüfung.

Nehmen wir mal an für eine C^2 funktion gelte $\begin{eqnarray*} \exists r > 0 \end{eqnarray*}$ derart, daß

$\begin{eqnarray*} \vert f(x) \vert \le \frac{C(r)}{\vert x \vert}, \forall x \in \mathbb{R}^n, \vert x \vert < r \end{eqnarray*}$

Dann folgt

$\begin{eqnarray*} (*) \vert \int_{B_r(0)} f(x) dx \vert \le \int_{B_r(0)} \vert f(x) \vert dx \le \frac{C(r)}{\vert x \vert} \cdot C(B_r(0)). \end{eqnarray*}$
Da die rechte Seite existiert und endlich ist folgt, dass f in $\begin{eqnarray*} L^1(B_r(0)) \end{eqnarray*}$ liegt.

Soweit so gut. Nun betrachte wir den Fall $\begin{eqnarray*} r \rightarrow \infty, \end{eqnarray*}$ dann geht die rechte Seit von (*) gegen 0. Wenn ich nun noch weiß, dass $\begin{eqnarray*} \vert f(x) \vert \end{eqnarray*}$ kleiner wird für $\begin{eqnarray*} \vert x \vert \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} f \in L^1(\mathbb{R}^n). \end{eqnarray*}$

Sind meine Folgerungen, bzw. ist meine Argumentation so in Ordnung?

25.03.2013, 14:52

SecretWindow

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Halt! Die rechte Seit von (*) geht gegen unendlich sehe ich gerade.

Aber wieso folgt denn genau, wenn der Betrag der Funktion expotentiell fällt, das f in integrabel über den ganzen R^n ist? Würde das auch gelten wenn f nur fällt (nicht exponentiell)

Danke!

29.03.2013, 12:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von SecretWindow
Dann folgt

$\begin{eqnarray*} (*) \vert \int_{B_r(0)} f(x) dx \vert \le \int_{B_r(0)} \vert f(x) \vert dx \le \frac{C(r)}{\vert x \vert} \cdot C(B_r(0)). \end{eqnarray*}$

Soweit ich deine Symbolik verstehe, ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ irgendeine Funktion $\begin{eqnarray*} C:\;\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ . Was bitte verstehst du dann unter $\begin{eqnarray*} C\left( B_r(0) \right) \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn du die Menge $\begin{eqnarray*} B_r(0)\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ dort als Argument einsetzt??? unglücklich

31.03.2013, 15:59

SecretWindow

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Nope.

Es ist $\begin{eqnarray*} C := C(B_r(0)) = \int_{B_r(0)} 1 \ dx \end{eqnarray*}$ einfach eine Konstante.

02.04.2013, 11:05

HAL 9000

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OK, der Teil wäre geklärt. In dem Fall sieht es so aus, als wolltest du einfach $\begin{eqnarray*} \frac{C(r)}{|x|} \end{eqnarray*}$ als konstanten Faktor aus dem Integral ziehen? Das geht leider überhaupt nicht, denn Nenner $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ ist ja nicht konstant. Das ist auch nicht auf kurzem Weg reparierbar, indem man etwa das Maximum dieses Faktors herauszieht, also

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in B_r(0)} \frac{C(r)}{|x|} \end{eqnarray*}$

denn dieser Wert ist ja $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Nein, es ist allenfalls so (oder so ähnlich) abzuschätzen: Es ist

$\begin{eqnarray*} V(r) = a_n r^n \end{eqnarray*}$

das Volumen deiner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Kugel $\begin{eqnarray*} B_r(0) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine nur von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängige positive reelle Konstante ist. Dann ist

$\begin{eqnarray*} V'(r) = na_n r^{n-1} \end{eqnarray*}$

der $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -dimensionale Oberflächeninhalt dieser Kugel, und für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ folgt damit dann

$\begin{eqnarray*} \left| \int\limits_{B_r(0)} f(x) ~ \dd x \right| \leq \int\limits_0^r \frac{C(r)}{t} \cdot V'(t) ~ \dd t = C(r) \int\limits_0^r na_n t^{n-2} ~ \dd t = C(r) \frac{na_n}{n-1} r^{n-1} = \frac{nC(r)V(r)}{(n-1)r} < \infty \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Es ist übrigens $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \end{eqnarray*}$ , dieser genaue Wert ist aber für den Beweis hier gar nicht nötig. Augenzwinkern

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