| 25.03.2013, 15:02 |
benjomatico |
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Wohldefiniertheit der Euler-Charakteristik (auf Flächen)
Hallo Ihr
Nach meiner Betrachtung von Graphen auf Flächen geht es jetzt um Triangulierungen. Für die, die es nicht wissen: Eine Triangulierung einer Fläche R (D.H einer 2-Dimensionalen Mannigfaltigkeit) ist ein endlicher, zusammenhängender Graph G auf R, dessen Komplement ausschließlich aus Kreisflächen besteht (mit anderen Worten: Alle Zusammenhangskomponeten in F\G sind homöomorph zur Einheitskreisscheibe D). Ich weiss, dass es eine Entsprechung für höhere Dimesionen gibt, ich betrachte jedoch ausschließlich Flächen. Meine Dozentin deutete an, dass der Satz Jede Kompakte Fläche besitzt eine Triangulierung bewiesen wäre, der Beweis jedoch äußerst technisch sei und von daher ungern durchgekaut würde. Jeder Kompakten Fläche mit Triangulierung G kann man daher eine Euler-charakteristik chi = V - E + F zu, wobei V und E die jeweiligen Anzahlen der Knoten/Kanten sind und F die Anzahl der Kreisflächen im Komplement darstellt, chi ist dabei unabhängig von der gewählten Triangulierung und zwei Flächen mit gleicher Charakteristik sind stets Homöomorph zueinander. Mein Problem liegt darin, zu verstehen, warum F stets endlich ist. Intuitiv und anschaulich scheint dies logisch zu sein, insbesondere eben bei Flächen, die sich in den R3 einbetten lassen, für solche Flächen folgt die Endlichkeit von F wahrscheinlich aus dem Jordan-Brow'schen Trennungssatz, eine Verallgemeinerung des Jordan'schen Kurvensatzes. Bei kompakten Flächen ohne einbettung in den R3, wie etwa den RP2 fehlt mir allerdings jede Idee, dies allgemein beweisen zu können. Konkret: Stimmt folgende Aussage?
Sei G ein endlicher Graph auf einer kompakten Fläche R. Dann hat R/G endlich viele Zusammenhangskomponenten
Hoffe, ihr könnt mir hierbei helfen |
