Beweis Konvergenz von 1/(1+1) (in Latex)

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SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Konvergenz von 1/(1+1) (in Latex)
Hallo zusammen.

Ich würde gern beweisen, dass

Dazu habe ich mir folgendes überlegt.

Beweis:
Sei ; Ich setzte dazu noch


q.e.d.

Wäre das formal korrekt? Ich bin mir ehrlich gesagt überhaupt nicht sicher.

Mit freundlichem Gruß,
Sigmund

PS: Kann ich Latex auch in der Überschrift des Themas verwenden?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Konvergenz von 1/(1+1) (in Latex)
Von der Idee passt alles, allerdings ein paar Kleinigkeiten.

Für \vareps > 1 ist n_0 negativ. Das meinst du sicher nicht. Und häufig (wenn auch nicht immer) wird gefordert, dass das n_0 eine natürliche Zahl sein soll. Wenn du die Maximumsfunktion benutzt und Gaußklammern, so kannst du das formal sauber aufschreiben.

(Wenn du nicht auf das "beste" n_0 bestehst, so kannst du auch ohne die Maximumsfunktion arbeiten, indem du n_0 einfach ein bisschen größer wählst.)

Und du musst natürlich sagen was $n$ in der Rechnung ist.

Und LaTeX kannst du nicht in der Überschrift verwenden. Aber da solltest du auch generell keine langen Formeln schreiben. Ein Titel wie "Konvergenz direkt über Definition" wäre klar und kommt ohne die explizite Folge aus.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Konvergenz von 1/(1+1) (in Latex)
Oh ja, natürlich! Das ganze soll über R definiert sein.
Also .

Wie müsste ich denn dann die Parameter für einen Beweis mit der Maximumsfunktion setzen? Da hätte ich jetzt überhaupt keinen Ansatz, da mir das ja die ganze Beweiskette sprengen würde.
Mit der max(*,*) stehe ich sowieso auf Kriefsfuß was Infitimalesbeweise angeht... Aber danke erstmal für die Verbesserungen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Konvergenz von 1/(1+1) (in Latex)
Ich bin relativ sicher, es ist im allgemeinen n als natürliche Zahl gemeint. Insbesondere wäre es für n = -1 nicht definiert.

Ich meinte allerdings spezifisch in der letzten Gleichungskette. Dort kann die Ungleichung nicht für alle n stimmen.

Mit Maximum ist es nicht besonders schön, da man ohne Fallunterscheidungen nicht auskommt. Du solltest das n_0 einfach ein wenig anders wählen.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

mhm ja, du hast wohl recht mit dem n.

Ich bin insgesammt noch etwas unsicher. Ich hatte mir zuerst den Funktionsgraphen zu bei Wolfram Alpha anzeigen lassen und deswegen geschrieben, dass ist. Aber das sind doch genau genommen 2 paar verschiedene Schuhe.
Betrachte ich nun , so hast du vollkommen recht und das ganze ist in sich nicht schlüssig, da für alle kleiner als 0 und sowieso nicht mehr ganz ist und damit nicht mehr in liegt. Damit gilt der Beweis nicht mehr für jedes und ist damit falsch.

Idee:
Ich setzte mein also einfach als nächst größeres Element:
wobei das kleinst größere Element in ist.

Damit würd ich dann für ein z.B. 10 immer ein Element bestimmen können:


Wirkt irgendwie etwas kompliziert
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, für \eps > 1 ist 1/(n+1) einfach immer kleiner als Epsilon, daher ist das n egal. Was dir die Formel sagt: Man könnte sogar so verrückt sein und negative n zulassen und es würde klappen.

Die einfachste Idee wäre hier einfach . Das Problem ist nur, dass die Minus 1 stört. Machen das n_0 größer, sparen wir uns dann für \eps > 1 extra zu sagen, dass wir n_0 = 0 wählen (oder jede andere beliebige natürliche Zahl).
 
 
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, das hört sich richtig an, aber damit komm ich nicht weiter.

Setzen wir also: , dann:


Vielleicht muss ich da auch erstmal ne Nacht drüber schlafen
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte noch eine Idee, bzw. die erste nicht zuende gedacht. Sorry für den vorschnellen Post!

Also:
Setzen wir: , dann


Wenn ich mich jetzt nicht total irre, müsste für jedes wohldefiniert sein und die algebraischen Umformungen stimmen soweit auch.

Damit wäre die Behauptung bewiesen.

Würd mich vielleicht über eine kurze Rückmeldung freuen smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du jetzt noch sagst für welche n die Ungleichungskette gilt, bin ich zufrieden.

Was ich aber eigentlich im Kopf hatte war

Setzen wir also: , dann:
,
wobei ich hier auch verschwiegen habe, woher das n kommt.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Naja nach der Definition von Konvergenz gilt die Ungleichung doch dann für alle , wobei .
Ifindu (Gast) Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Information, dass n nicht beliebig ist, sondern größer als n_0 fehlt. Dir mag es klar gewesen sein, aber du hast es nirgendwo geschrieben (kannst oben gerne nachschauen).

Damit bin ich dann endgültig zufrieden Augenzwinkern
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