Basis bestimmen?

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20.02.2007, 20:55

habeeinefrage

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Basis bestimmen?

Hallo,

wie bestimme ich bei der Aufgabe die Basis?
Wieso kann ich nur eine Basis bestimmen wenn es Unterräume sind?

http://img2.myimg.de/untitled75c_thumb.jpg

Danke schonmal

20.02.2007, 21:42

Leopold

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Unterräume sind eigentlich Untervektorräume. Und Vektorräume haben Basen. Vektorraum - Basis. Kein Vektorraum - keine Basis.

$\begin{eqnarray*} a_{11} + a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$ heißt doch $\begin{eqnarray*} a_{22} = -a_{11} \end{eqnarray*}$ . Die Matrizen in a) haben also die Gestalt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & - a_{11} \end{pmatrix} = a_{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + a_{12} \cdot \begin{pmatrix} . & . \\ . & . \end{pmatrix} + a_{21} \cdot \begin{pmatrix} . & . \\ . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muß man mehr sagen?

Und bei b) kann man ja $\begin{eqnarray*} a_{11} \cdot a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$ auch so ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} a_{11} = 0 \ \ \text{oder} \ \ a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$

Da kann man nun leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen bezüglich der Addition ist. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist daher kein Untervektorraum.

20.02.2007, 21:54

habeeinefrage

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danke, also b) ist mir jetzt klar, aber bei a), wie komme ich denn da auf die Zahlen wo du jeweils nur 4 Punkte hingemacht hast? Und wieso brauche ich da kein nicht auch noch $\begin{eqnarray*} + a_{22} \cdot \begin{pmatrix} . & . \\ . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 07:47

klarsoweit

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Überlege mal, wie die Punkte gefüllt sein müssen, damit bei der Addition von $\begin{eqnarray*} a_{12} \cdot \begin{pmatrix} . & . \\ . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das a_12 da landet, wo es in der ursprünglichen Matrix hingehört.

Ein anderer Weg wäre, die definitionsgemäßen Eigenschaften des Unterraums nachzuweisen. Was muß da laut Definition erfüllt sein?

21.02.2007, 11:22

Isomorphismus

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bei b) hast dus übrigens besonders leicht, da muss ja 0=0 erfüllt sein ;-)

21.02.2007, 11:23

habeeinefrage

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Zitat:

Original von klarsoweit
Überlege mal, wie die Punkte gefüllt sein müssen, damit bei der Addition von $\begin{eqnarray*} a_{12} \cdot \begin{pmatrix} . & . \\ . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das a_12 da landet, wo es in der ursprünglichen Matrix hingehört.

Ein anderer Weg wäre, die definitionsgemäßen Eigenschaften des Unterraums nachzuweisen. Was muß da laut Definition erfüllt sein?

ah danke

d.h ich muss einfach nur da 1en bzw. -1en hinmachen wo a steht.
und das ist dann jetzt die Basis (also die drei Vektoren?)

noch eine Frage allgemein zu solchen Aufgaben, wann ist eigenlich der 0-Vektor (bzw. die 0 Matrix) im Unterraum enthalten?

21.02.2007, 11:24

habeeinefrage

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Zitat:

Original von Isomorphismus
bei b) hast dus übrigens besonders leicht, da muss ja 0=0 erfüllt sein ;-)

hmm kannst du mir das genauer erklären?

21.02.2007, 11:31

Isomorphismus

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hinter deinen Unterräumen steht noch was für diese erfüllt sein muss. In dem Unterpunkt b) also a11*a22=0 . Also muss zwingend a11 oder a22 0 sein wodurch jeweils der andere Wert auch zu Null wird ;-). Man kann also sagen du hast einen frei wählbaren Parameter weil wenn ein Wert Null ist kann der andere Wert sein was er will er wird ja auch Null ;-)

21.02.2007, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von habeeinefrage
und das ist dann jetzt die Basis (also die drei Vektoren?)

Daß die 3 Matrizen dann einen Basis bilden (also auch noch linear unabhängig sind) müßte noch gezeigt werden.

Zitat:

Original von habeeinefrage
noch eine Frage allgemein zu solchen Aufgaben, wann ist eigenlich der 0-Vektor (bzw. die 0 Matrix) im Unterraum enthalten?

Prüfe, ob der 0-Vektor (bzw. die 0 Matrix) die Bedingungen des Unterraums erfüllen.

Zitat:

Original von Isomorphismus
Also muss zwingend a11 oder a22 0 sein wodurch jeweils der andere Wert auch zu Null wird ;-). Man kann also sagen du hast einen frei wählbaren Parameter weil wenn ein Wert Null ist kann der andere Wert sein was er will er wird ja auch Null ;-)

Eine etwas merkwürdige Ausdrucksweise:
"Ein Wert kann sein, was er will, er wird ja auch zu Null". verwirrt

21.02.2007, 11:54

Isomorphismus

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haha

tschuldige ^^

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