(absolute) Konvergenz

25.03.2013, 21:48

Hantel

(absolute) Konvergenz

Hallo, ich bin weiterhin an einigen Übungen zu schaffen. Zunächst gilt es die Konvergenz von Reihen zu zeigen, und im zweiten Aufgabenteil um einen absoluten Wert einer Reihe.

(A) Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\begin{eqnarray*} s_{n_1} = \sum_{n=1}^{\infty} = \frac{\cos(n \pi)}{(\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} = \frac{(-1)^n}{(\sqrt{n}}; \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0<br /> <br /> s_{n_2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-2\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2 \sqrt{n}} \sqrt{n}} \leq ... \end{eqnarray*}$

(B) Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} s_{n_3} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2^n} + \frac{(-1)^n}{3^n}) = \frac{11}{4} \end{eqnarray*}$

Vielleicht erstmal die letzte Aufgabe hintenan stellen, so müsste doch zumindest die Konvergenz der ersten Reihe korrekt mit dem Leibniz-Kriterium gezeigt worden sein(?)

Die zweite Reihe sollen wir mit dem Vergleichskriterium zeigen. Was genau bedeutet das hier? Sollen mir jetzt irgendwelche Abschätzungen einfallen, oder muss ich hier vllt. e in die Reihendarstellung überführen?

Danke für alle Antworten!

25.03.2013, 22:45

shipwater

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Bei der ersten Reihe musst du noch die Monotonie nachweisen. Dass diese Reihe nicht absolut konvergiert sollte direkt klar sein.
Bei der zweiten Reihe musst du jetzt eben eine konvergente Majorante finden. Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} e^x \geq 1+x+\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ die für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten sollte, könnte hier helfen.
Und das letzte sind ja nur geometrische Reihen, dafür gibt es Summenformeln, einfach mal im Skript nachgucken.

Gruß Shipwater

25.03.2013, 22:46

Lamiah

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RE: (absolute) Konvergenz

Zitat:

Original von Hantel
$\begin{eqnarray*} s_{n_1} = \sum_{n=1}^{\infty} = \frac{\cos(n \pi)}{(\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} = \frac{(-1)^n}{(\sqrt{n}}; \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier ist etwas beim Abtippen schief gelaufen! Zu viele Gleichzeichen!
Jedenfalls fehlt hier noch der Beweis, dass die Folge monoton fallen ist.

2.) Du sollst entweder eine Majorante oder Minorante zu $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-2 \sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ finden.

26.03.2013, 12:30

Hantel

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RE: (absolute) Konvergenz
Alles klar, erstmal bedanke ich mich natürlich für eure Antworten. Ich werde zunächst Monotonie für (i) zeigen, und dann mit der empfohlenen Abschätzung zu (ii) fortfahren:

$\begin{eqnarray*} (i) a_n \geq a_{n+1} \iff \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{\sqrt{n+1}} \iff \sqrt{n} \leq \sqrt{n+1} \iff n \leq n+1.<br /> <br /> (ii) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2 \sqrt{n}}\sqrt{n}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+2\sqrt{n} + 2n)\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{((1+\sqrt{n})^2+\sqrt{n})\sqrt{n}} \leq ... \end{eqnarray*}$

Geht das, was ich bei (ii) tue, in die falsche Richtung, habe ich den Hinweis falsch interpretiert?

Nochmal Danke für die Tipps, und sorry für den mauen Input, habe das jetzt seit einer halben Stunde vor mir auf dem Blatt, aber meine Bemühungen fördern leider keine Ergebnisse zu Tage..

26.03.2013, 12:36

Hantel

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RE: (absolute) Konvergenz
Noch zur letzten Aufgabe, auch da Danke an die Tipps, habe das komplett übersehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2^n} + \frac{(-1)^n}{3^n}) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} + \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{4}{3}} = 2 + \frac{3}{4} = 11/4 \end{eqnarray*}$

26.03.2013, 16:08

shipwater

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Bei ii kannst du noch weiter abschätzen. Versuche eine Majorante der Art $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}, \alpha>1 \end{eqnarray*}$ zu bekommen.
Edit: Und das letzte Gleichheitszeichen bei ii ist übrigens falsch, aber das brauchst du eh nicht.

Gruß Shipwater

26.03.2013, 18:06

Hantel

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Das erklärte Ziel ist dann ja nicht mehr all zu weit entfernt:

$\begin{eqnarray*} ... \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+2\sqrt{n} + 2n)\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+2n + 2n^{3/2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^{3/2}} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n})^{3/2}. \end{eqnarray*}$

Und jetzt nurnoch argumentieren? Auf welche mir bekannte Reihe nimmt das denn Bezug?

26.03.2013, 18:59

shipwater

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Ihr solltet gezeigt haben, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}, \alpha>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Gruß Shipwater

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