Krümmungsmaximum ohne Ausrechnen berechnen

26.03.2013, 14:41	Fragen über Fragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsmaximum ohne Ausrechnen berechnen Meine Frage: Gegeben ist die Kurvenschar $\begin{eqnarray} f_a(x)=a^x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a>1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Für jedes derartige a existiert eine Stelle $\begin{eqnarray} x_{\kappa}(a) \end{eqnarray}$ , an der die Krümmung von $\begin{eqnarray} f_a(x) \end{eqnarray}$ maximal ist. Begründe, ohne $\begin{eqnarray} x_{\kappa}(a) \end{eqnarray}$ explizit auszurechnen, dass die Ableitung an dieser Stelle konstant sein muss, also $\begin{eqnarray} f'_a(x_{\kappa}(a)) \end{eqnarray}$ für jedes a den gleichen Wert annimmt. Hinweis: Bekanntlich gilt folgende Formel für die Krümmung: $\begin{eqnarray} \kappa = \|\frac{y''}{(1+{y'}^{2}) ^{1.5} }\| \end{eqnarray}$ (Quelle: Übergangs-Marathon Mathematik Seite 1) Meine Ideen: Erstmal keine Ahnung, in welche Richtung hier gedacht werden soll...
26.03.2013, 15:10	Karamuto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde versuchen die Krümmung in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x_k(a) \end{eqnarray}$ zu schreiben und die Gleichung nach $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ umzustellen.
26.03.2013, 15:31	Fragen über Fragen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmungsmaximum ohne Ausrechnen berechnen Danke für deine Antwort! Die Krümmung explizit dargestellt ist $\begin{eqnarray} \kappa(x,a)=\frac{a^x(\ln(a))^2}{(a^{2x}(\ln(a))^2+1)^{1.5}} \end{eqnarray}$ Mit der Substitution $\begin{eqnarray} z:=f'_a(x_{\kappa}(a))=a^{x_{\kappa}(a)}\ln(a) \end{eqnarray}$ lässt sie sich schreiben als $\begin{eqnarray} \kappa(z,a)=\frac{(\ln(a)z}{(z^2+1)^{1.5}} \end{eqnarray}$ und diese Funktion hat genau eine Maximalstelle z, sodass für maximales $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ die erste Ableitung für jedes a gleich sein muss, eben gleich dieser Maximalstelle z. Aber ich bin mir nicht sicher, ob man das auch irgendwie schon vorher gesehen hätte oder ob es noch einen tieferen Grund dafür gibt.

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