Produktionstheorie bei totaler Faktorvariation

27.03.2013, 02:44

owadue

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Produktionstheorie bei totaler Faktorvariation

Hallo Leute,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe. Also im Grunde verstehe ich dabei nur Bahnhof.

Für Produktionsfunktion x = 2r1 * r2
gilt folgende Grenzrate der Substitution: dr2 / dr1 = -1/2

Aufgabe:
Bestimmen Sie zu dieser Substitution die zugehörigen Einsatzmengen von r1 und r2 für x = 9

Kann mir jemand einen Schubser in die richtige Richtung geben...

Vielen Dank

27.03.2013, 13:31

Kasen75

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Hallo owadue,

es gilt hier folgender Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{dr_2}{dr_1} \right| =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

In Worten: Die Grenzrate der Substitution entspricht dem umgekehrten Verhältnis der Grenzproduktivitäten.

Wie schon gestern (oder heute) erwähnt, kann man die Grenzproduktivität, unter bestimmten Annahmen, auch als Grenzertrag bezeichnen.

Somit musst du erstmal x nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ (partiell) ableiten. Und du solltest x nach $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ (partiell) ableiten. Diese Grenzproduktivitäten dann ins Verhältnis setzen und dem Betrag der Grenzrate der Substitution gleichsetzen.

Das war jetzt der erwünschte Schubser.

Grüße.

27.03.2013, 14:24

owadue

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo owadue,

es gilt hier folgender Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{dr_2}{dr_1} \right| =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

In Worten: Die Grenzrate der Substitution entspricht dem umgekehrten Verhältnis der Grenzproduktivitäten.

Quote-Tag ergänzt. Steffen

Also das versteh ich nicht. Kannst du das einfacher erklären?

27.03.2013, 14:27

owadue

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Also ich fange jetzt so an?

x = 2r1

x' = 2 ?

Hä ich glaube ein Schubser hat wohl nicht gereicht, muss wohl ein kräftiger tritt sein haha

27.03.2013, 14:42

Kasen75

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Das ist leider nicht richtig. Die Produktionsfunktion sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} x = 2r_1 * r_2 \end{eqnarray*}$

Genau diese leitest du auch jeweils partiell ab. Du gehst somit nicht von einer modifizierten Produktionsfunktion wie dieser

Zitat:

x = 2r1

aus.

Wenn du jetzt nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ableitest, dann wird der Faktor $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ wie ein konstanter Faktor behandelt. Man "schleppt" in sozusagen mit.
Genauso wie du es mit dem Faktor 2 gemacht hast.

Wenn du dann nach $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ ableitest, dann ist es genau umgekehrt.

Du musst auch irgendwie deutlich machen, dass du nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ ableitest. Das ist so bei $\begin{eqnarray*} x' = 2 \end{eqnarray*}$ nicht zu erkennen.

27.03.2013, 14:54

owadue

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Was heißt denn genau diese leite ich JEWEILS partiell ab, was heißt denn partiell...

ich glaub ich steh da auf dem Schlauch

und was ist denn mit der Grenzrate der Substitution dr2/dr1 = -1/2

muss ich damit nix machen??

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27.03.2013, 15:08

Kasen75

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Diese Bedingung dr2/dr1 = -1/2 kannst du für die, von mir angegebene, Formel verwenden.
Du weißt also, dass dr2/dr1 = -1/2 ist. Somit kannst du für dr2/dr1 den Wert -1/2 einsetzen.

Partiell heißt, dass du nur nach einer Variable (Produktionsfaktor) ableitest.

Wenn du nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ableitest, kann man zur Verdeutlichung der Situation die Produktionfunktion so schreiben. Es ändert aber an der Funktion als solche nichts:

$\begin{eqnarray*} x = (2 \cdot r_2) \cdot r_1 \end{eqnarray*}$

Schreibt man es allgemeiner auf steht jetzt da: $\begin{eqnarray*} x(r_1)=a \cdot r_1 \end{eqnarray*}$
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} a=2 \cdot r_2 \end{eqnarray*}$

Wie wäre denn jetzt die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x(r_1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du dieses Ergebnis hast, dann kannst du wieder rücksubstituieren.

27.03.2013, 17:12

owadue

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was heißt denn für dr2/dr1 den wert -1/2 einsetzen, wo habe ich denn hier dr2 oder dr1??

und das mit der Substitution versteh ich auch nicht, wo hab ich denn a hier?

ich würde jetzt erst mal folgendes als ERSTES hinschreiben

x = (2 * r2) * r1

27.03.2013, 17:13

owadue

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Vor allem das hat ja mit den aufgaben von heute NAcht gar nix mehr zu tun unglücklich

unglücklich

27.03.2013, 17:34

Kasen75

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Zitat:

was heißt denn für dr2/dr1 den wert -1/2 einsetzen, wo habe ich denn hier dr2 oder dr1??

In der Formel die ich angegeben hatte:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{dr_2}{dr_1} \right| =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

In diese Gleichung kannst du den Wert für $\begin{eqnarray*} \frac{dr_2}{dr_1} \end{eqnarray*}$ einsetzen. smile

smile

Zitat:

und das mit der Substitution versteh ich auch nicht, wo hab ich denn a hier?

Du hast hier auch direkt kein a.

Ich mache es mal konkret:

Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=2 \cdot x \end{eqnarray*}$ ?

Was ist dann die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=a\cdot x \end{eqnarray*}$ ?

27.03.2013, 17:51

owadue

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f (x) ' = 2

g (x) ' = a

also ist a sozusagen 2

also dann schreib ich als erstes

a = 2 * r2

r2 = 1 ??

27.03.2013, 17:59

Kasen75

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Die Ableitungen sind richtig.
Die Schlussfolgerung sollte sein, dass die Faktoren a und 2 jeweils bei der Ableitung erhalten bleiben.

Wenn man jetzt

$\begin{eqnarray*} x = \underbrace{(2 \cdot r_2)}_{\text{=Faktor}} \cdot r_1 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ableitet, was steht dann da?

27.03.2013, 18:02

owadue

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Wenn man jetzt

$\begin{eqnarray*} x = \underbrace{(2 \cdot r_2)}_{\text{=Faktor}} \cdot r_1 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ableitet, was steht dann da?[/quote]

die produktionsfunktion in der Aufgabenstellung heißt doch

x = (2*r1) * r2 oder vertauscht man r1 und r2??

27.03.2013, 18:15

Kasen75

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Das ist egal wie man es hinschreibt.

Allgemein gilt: $\begin{eqnarray*} a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} (2 \cdot r_2) \cdot r_1=(2 \cdot r_1) \cdot r_2 \end{eqnarray*}$

Aber versuch mal den Ausdruck, den ich gepostet hatte nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ abzuleiten.

Bin für 20 Min weg.

27.03.2013, 18:21

owadue

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x = (2* r2) * r1

x' = (2 * r2)

Ist das, dass allererste, was ich zur Lösung schreibe??

27.03.2013, 18:48

Kasen75

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Das ist die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ . Somit ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial r_1}=2 \cdot r_2 \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x}{\partial r_2} \end{eqnarray*}$ ?

Gehe am Besten hiervon aus: $\begin{eqnarray*} x = \underbrace{(2 \cdot r_1)}_{\text{=Faktor}} \cdot r_2 \end{eqnarray*}$

27.03.2013, 18:58

owadue

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Ok ich hab es jetzt so aufgeschrieben zur Lösung

x = (2 * r2) * r1
x' =(2* r2)

x = (2 * r1) * r2
x' =(2* r1)

27.03.2013, 19:04

Kasen75

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Jetzt setzt du deine Ergebnisse hier

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{dr_2}{dr_1} \right| =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

ein. Die linke Seite ist in der Aufgabenstellung schon numerisch gegeben.

Ich hatte es ja schon erwähnt. Bei deinen partiellen Ableitungen sollte erkennbar sein, wonach du abgeleitet hast.

27.03.2013, 19:06

owadue

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Also

- 1/2 = 2*r1 / 2*r2 ??

27.03.2013, 19:15

Kasen75

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Die linke Seite stimmt nicht ganz, da die -1/2 in Betragsstrichen stehen sollten.

Was ist $\begin{eqnarray*} |-1/2| \end{eqnarray*}$ ohne Betragsstriche?

Auf der rechten Seite hast du oben und unten vertauscht. Das liegt wahrscheinlich auch daran, dass du deine Ableitungen nicht klar kennzeichnest.
Wenn du das korrigiert hast, dann kannst du auf der rechten Seite noch kürzen.

27.03.2013, 19:25

owadue

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Oh sorry...

(-1/2) = 2 * r2 / 2 * r1

(- 1/2) = r2 / r1

keine Ahnung was du mit Betragsstrichen meinst und wieso die -1/2 in Betragsstrichen stehen müssen ?

27.03.2013, 19:35

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} |-1/2|=1/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |- 1/2| = r_2 / r_1 \Rightarrow 1/2 = r_2 / r_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ auflösen.

27.03.2013, 19:44

owadue

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Achso ist das dann immer so das /-1/2/ zu 1/2 wird?

1/2 * r1 = r2

dann

1/2 = 1/2*r1 / r1

oder wie gehts das?

27.03.2013, 20:47

Kasen75

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Zitat:

Achso ist das dann immer so das |-1/2| zu 1/2 wird?

Ja.

Hiermit $\begin{eqnarray*} 1/2 * r_1 = r_2 \end{eqnarray*}$ hast du schon nach einer Variable aufgelöst. Freude

Freude

Jetzt muss man nur noch den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ in die Produktionsfunktion $\begin{eqnarray*} x = 2r_1 * r_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Mit der Angabe, dass $\begin{eqnarray*} x=9 \end{eqnarray*}$ ist ergibt sich: $\begin{eqnarray*} 9 = 2r_1 * r_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du dann den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt hast, dann kannst du den Wert für $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Und über die Gleichung $\begin{eqnarray*} 1/2 * r_1 = r_2 \end{eqnarray*}$ kannst du letztendlich den Wert für $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

27.03.2013, 21:14

owadue

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9 = 2r1 * 1/2r1

r1 = 9

1/2 * 9 = r2

r2 = 4,5

Wäre das dann das Ergebnis?

27.03.2013, 21:20

Kasen75

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Leider noch nicht.

Zitat:

9 = 2r1 * 1/2r1

r1 = 9

Du musst noch mal bei $\begin{eqnarray*} 2r_1 * 1/2r_1 \end{eqnarray*}$ nachrechnen. Ich schreibs mal um:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot r_1 \cdot r_1 = \ldots ? \end{eqnarray*}$

27.03.2013, 21:29

owadue

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Also ich fass nochmal zusammen und hoffe das ich es verstanden habe...

Produktionsfunktion x=2r1 * r2
folgende Grenzrate der substitution gilt : dr2 / dr1 = -1/2
Bestimmen sie zu dieser Substitutionsrate die zugehörigen Einsatzmengen von r1 und r2 für x=9

Lösung:

x = (2 * r2) * r1
x' = (2 * r2)

*x / *r1 = 2 * r2 (Sternchen sollen das Zeichen da sein)

x = (2 * r1) * r2
x' = (2 * r1)

*x / *r2 = 2 * r1

--> dr2 / dr1 = *x/*1 / *x/*r2

/ - 1/2 / = 2 * r2 / 2 *r1

/ - 1/2 / = r2 / r1

1/2 = r2/r1

1/2 * r1 = r2

x=2r1 * r2 (x=9)

9=2r1 * 1/2*r1
r1 = 9

1/2 * 9 = r2 = 4,5

27.03.2013, 21:30

owadue

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Oh stimmt....

9 = 2r1 * 0,5r2

r1 = 3

dann wäre das andere

1/2 * 3 = 1,5

r2 = 1,5

27.03.2013, 21:51

Kasen75

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Damit hast du die Einsatzmengen bestimmt. Jetzt hast du die Lösung. Freude

Freude

Freude

Zu deiner Notation habe ich noch zwei Anmerkungen zu machen:

1. Es ist nicht günstig für Sternchen und Multiplikationzeichen dasselbe Symbol zu verwenden.

2. Viel Wichtiger:
Du kannst nicht für beide Ableitungen, nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ , die gleiche Notation ( $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ ) benutzen.
In Kurzschreibweise kannst du es so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \text{\Large$ \text{$x_{r_1}$} $} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \text{\Large$ \text{$x_{r_2}$} $} \end{eqnarray*}$

Oder so wie ich es geschrieben habe: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x }{\partial r_1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial x }{\partial r_2} \end{eqnarray*}$

27.03.2013, 21:53

owadue

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Ok super, das hab ich auch verstanden vielen Dank!

Das war auch so die einzige Aufgabe die im Skript steht

Sternchen hab ich nur gemacht, weil ich das Zeichen nicht habe auf der Tastatur, sorry

Herzlichen Dank mal wieder für die Hilfe smile

smile

27.03.2013, 21:58

Kasen75

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Gerne.

smile

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