Fallunterscheidung bei Betragsgleichungen

Neue Frage »

crunky Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidung bei Betragsgleichungen
Meine Frage:
Hallo liebe Community,
vorerst ich habe bis jetzt kaum Ansatzweise diese Fallunterscheidungen verstanden. Dazu wenn mann danach Googelt, hat man das Gefühl das jeder etwas anderes schreibt. Wirklich irritierend.

Ich versuche gerade drei Aufgaben zu lösen... und bekomme kaum die erste hin Big Laugh . Ich möchte natürlich nicht das ihr sie für mich löst, nur sagt wie man das macht. Gerade bei der Letzten ist auf der anderen Seite noch ein Betrag?!

Welche Fallunterscheidungen müssen gemacht werden, um die folgenden Gleichungen zu lösen?
Skizzieren Sie die entsprechenden Intervalle in der Grafik.

Zu den Aufgaben:
a) |x-5|=3x
b) |x+1|-|x-2|=25
c) |x-9|+|x-3|-|4x|=|2x+10|




Meine Ideen:
a) |x-5|=3x
Fall 1: | Fall 2:
x-5 > 0 | -(x-5)>0
x > 5 | -x+5 >0
-x >-5
x <5
Unter dem linken > Ist noch nen _ drunter Augenzwinkern .
Aber Sinn macht das ganze doch nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidung bei Betragsgleichungen
Wieso nicht? Es geht doch in erster Linie darum, den Ausdruck |x-5| aufzulösen, also sozusagen dafür zu sorgen, daß die Betragsstriche wegfallen. Aber die Dinger einfach weglassen geht nur, wenn x-5 >= 0 ist. Ist hingegen x-5 < 0 mußt du beim Weglassen der Betragsstriche das "x-5" nocht mit -1 multiplizieren. Also hast du - schwuppdiwupp - 2 Fälle, die jeweils separat zu behandeln sind.
crunky Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidung bei Betragsgleichungen
Zitat:
Original von klarsoweit
Wieso nicht? Es geht doch in erster Linie darum, den Ausdruck |x-5| aufzulösen, also sozusagen dafür zu sorgen, daß die Betragsstriche wegfallen. Aber die Dinger einfach weglassen geht nur, wenn x-5 >= 0 ist. Ist hingegen x-5 < 0 mußt du beim Weglassen der Betragsstriche das "x-5" nocht mit -1 multiplizieren. Also hast du - schwuppdiwupp - 2 Fälle, die jeweils separat zu behandeln sind.


habe ich ja gemacht und in welcher form sieht jetzt der intervall aus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fallunterscheidung bei Betragsgleichungen
Daß du das gemacht hast, sehe ich nicht. Du hast lediglich die beiden Fälle aufgeschrieben:
1. Fall: x-5 >= 0
2. Fall: -(x-5)>0 oder besser x-5 < 0

Und jetzt mußt du für jeden Fall die Gleichung |x-5|=3x lösen.
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

O.o aber Fall 1 und 2 haben doch keinen signifikanten Unterschied.

x-5 = 3x
-5 = 2x
-5/2= x ???

Die Fälle sind doch nur annäherungen? Wie soll man die denn jetzt verarbeiten? Was'n Ratespiel Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
O.o aber Fall 1 und 2 haben doch keinen signifikanten Unterschied.

Also es ist doch wohl ein großer Unetrschied, ob x-5 >= 0 oder x-5 < 0 ist.

Zitat:
Original von crunky
Die Fälle sind doch nur annäherungen?

Was willst du mir damit sagen? verwirrt

Zitat:
Original von crunky
Wie soll man die denn jetzt verarbeiten?

Du hast jetzt -5/2= x für den Fall x-5 >= 0 . Jetzt solltest du mal prüfen, ob die Lösung x = -5/2 überhaupt die Fall-Bedingung erfüllt.
 
 
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von crunky
Die Fälle sind doch nur annäherungen?

Was willst du mir damit sagen? verwirrt

Das sie X Beschreiben aber nicht lösen.
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von crunky
Wie soll man die denn jetzt verarbeiten?

Du hast jetzt -5/2= x für den Fall x-5 >= 0 . Jetzt solltest du mal prüfen, ob die Lösung x = -5/2 überhaupt die Fall-Bedingung erfüllt.


Es entspricht Fall 2: x<5 bzw. nicht Fall 1: x>5.

Das bringt mich noch zu keinem Intervall :P

Gibt es dafür nichtmal eine Beispielaufgabe oder so. Ich muss hier als raten. Beim Prof in den unterlagen löst er nur Ungleichungen und auch nie etwas wo mehrere Beträge sind.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von crunky
Die Fälle sind doch nur annäherungen?

Was willst du mir damit sagen? verwirrt

Das sie X Beschreiben aber nicht lösen.

verwirrt Verstehe ich nicht. Aber egal.

Zitat:
Original von crunky
Es entspricht Fall 2: x<5 bzw. nicht Fall 1: x>5.

Also Quintessenz: im Fall 1 gibt es keine Lösung.

Zitat:
Original von crunky
Das bringt mich noch zu keinem Intervall :P

Abwarten. Du hast Fall 2 noch nicht gelöst. Außerdem: was willst du mit einem Intervall? verwirrt Die Lösungsmenge besteht (in diesem Fall) aus einem einzigen Element.

Außerdem mußt du hier nichts raten, sondern "nur" zwei simple Gleichungen unter einer Fallbedingung lösen. Ich denke, daß kann man von einem Abiturienten erwarten.
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage auf dem AB ist:

Welche Fallunterscheidungen müssen gemacht werden, um die folgenden Gleichungen zu lösen?
Skizzieren Sie die entsprechenden Intervalle in der Grafik.


c|
..|
b|
..|
a|
..|_______________________________
-10.........-5..........0.........5.........10
.................Zahlenstrahl

..<- Leerzeichen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In der 1. Aufgabe hast du x >= 5 und x < 5. Das ergibt 2 nette nach einer Seite offene Intervalle. smile
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
In der 1. Aufgabe hast du x >= 5 und x < 5. Das ergibt 2 nette nach einer Seite offene Intervalle. smile

Und das sind jetzt einfach die zwei Fälle?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was sonst? Davon reden wir doch die ganze Zeit. geschockt
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

|x-5|=3x

Fall 1:
x-5>=0
x>=5

Fall 2:
-x+5<0
x<5

x<5 und x>=5

Intervall (8|;,5) und [5,8|)???
(ihr habt hier kein unendlichzeichen Big Laugh )

Wie gesagt ich habe noch eigentlich überhaupt keine Ahnung davon. Lese nur als.

Und wie meint er das "folgende Gleichung zu lösen"?
Nehme ich dann Fall zwei an:
-(x-5) =3x
und löse auf:
-x+5=3x
5=4x
x=5/4??? <- Lösung Des Therms und Intervalle habe wir oben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
Intervall (8|;,5) und [5,8|)???
(ihr habt hier kein unendlichzeichen Big Laugh )

So vielleicht: und ?

Zitat:
Original von crunky
x=5/4??? <- Lösung Des Therms und Intervalle habe wir oben?

Das ist jetzt die Lösung der Gleichung, die aber noch geprüft werden muß, ob sie auch Element von dem entsprechenden Intervall ist.

Und es heißt "Term". "Therme" sind was anderes. smile
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

kp0 wie du das mit dem Code einfügen gemacht hast Big Laugh

Ja ich schreibe gerne mal Therm statt Term :P
x=5/4 Ist ein Element von dem ersten Intervall? Von beiden ist ja schlecht möglich.
Aber wenn ich den ersten Fall annehme passt es nur in das INtervall von zweiten Fall und andersherum.

Versteh ich nicht.. Big Laugh

Bei Aufgabe 2 Habe dort jetzt 4 Intervalle?
und bei Aufgabe 3 muss ich da zuerst den Betrag auf der Rechten Seite nach links bringen?

Aufgabe 2:

Fall 1:
x>=-1 ; x>=+2
Intervalle: [-1;8|) ; [2;8|)

Fall 2:
x<-1 ; x<+2
Intervalle: (8|;-1) ; (8|;2)

Gibt es jetzt bei der Auflösung des Term nur entweer Fall1 oder 2 oder kann es auch ein Mix aus beiden sein?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
x=5/4 Ist ein Element von dem ersten Intervall? Von beiden ist ja schlecht möglich.
Aber wenn ich den ersten Fall annehme passt es nur in das INtervall von zweiten Fall und andersherum.

Was ist denn jetzt bei dir das 1. und was das 2. Intervall?

Zitat:
Original von crunky
Aufgabe 2:

Fall 1:
x>=-1 ; x>=+2
Intervalle: [-1;8|) ; [2;8|)

Fall 2:
x<-1 ; x<+2
Intervalle: (8|;-1) ; (8|;2)

Das kann man zusammenfassen zu:
Fall 1:
Fall 2:

Jetzt fehlt dir noch ein Intervall, nämlich das, was zwischen -1 und 2 liegt. smile

Zitat:
Original von crunky
Gibt es jetzt bei der Auflösung des Term nur entweer Fall1 oder 2 oder kann es auch ein Mix aus beiden sein?

Irgendwie habe ich den Eindruck, daß du das ganze noch nicht wirklich verstanden hast. Du hast verschiedene Intervalle, auf denen du jeweils die Gleichung betrachtest. Diese Betrachtung mußt du für jedes Intervall machen und es kann auch für jedes Intervall eine Lösung existieren oder auch nicht.
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Was ist denn jetzt bei dir das 1. und was das 2. Intervall?

Das Intervall zu dem 1. und 2. Fall
Fall 1:
x-5>=0
x>=5

Berechnung
x-5 = 3x
-5 = 2x
-5/2= x <- Liegt nicht in Fall1 Intervall

Fall 2:
-x+5<0
x<5

Berechnung
-(x-5) =3x
-x+5=3x
5=4x
x=5/4 <-Liegt im Fall 2(habe mich vertan)

x<5 und x>=5

Intervall (8|;,5) und [5,8|)

Zitat:
Original von crunky
Aufgabe 2:

Fall 1:
x>=-1 ; x>=+2
Intervalle: [-1;8|) ; [2;8|)

Fall 2:
x<-1 ; x<+2
Intervalle: (8|;-1) ; (8|;2)
Zitat:
Original von klarsoweit
Das kann man zusammenfassen zu:
Fall 1:
Fall 2:

Jetzt fehlt dir noch ein Intervall, nämlich das, was zwischen -1 und 2 liegt. smile

Könntest du evtl beschreiben wie du die Zusammengefasst hast? Hast ja eigentl einfach nur die ersten Intervalle genommen zu den Fällen.
Sinvoller wäre doch:
Fall 1:
Fall 2:
Da wären dann alle Zahlen Abgedeckt Big Laugh ...
Aber wie denn noch ein Intervall? Wie kommt man darauf. Das doch nur der Zahlenunterschied zweischen den zwei Intervallen innerhalb eines Falles.
Zitat:
Original von klarsoweit
Irgendwie habe ich den Eindruck, daß du das ganze noch nicht wirklich verstanden hast. Du hast verschiedene Intervalle, auf denen du jeweils die Gleichung betrachtest. Diese Betrachtung mußt du für jedes Intervall machen und es kann auch für jedes Intervall eine Lösung existieren oder auch nicht.

[/quote]
Ja aber Löse ich dann nur einen Betrag wie bsp
x+1=25
oder im ganzen Term
x+1-x-2=25 b<- Obwohl dabei das X verschwinden würde.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt natürlich alle Beträge auflösen. Ob dabei die x-se verschwinden, ist erstmal belanglos.

Zitat:
Original von crunky
Fall 1:
x>=-1 ; x>=+2
Intervalle: [-1;8|) ; [2;8|)

Fall 2:
x<-1 ; x<+2
Intervalle: (8|;-1) ; (8|;2)
Zitat:
Original von klarsoweit
Das kann man zusammenfassen zu:
Fall 1:
Fall 2:

Jetzt fehlt dir noch ein Intervall, nämlich das, was zwischen -1 und 2 liegt. smile

Könntest du evtl beschreiben wie du die Zusammengefasst hast? Hast ja eigentl einfach nur die ersten Intervalle genommen zu den Fällen.
Sinvoller wäre doch:
Fall 1:
Fall 2:
Da wären dann alle Zahlen Abgedeckt Big Laugh ...

Wenn du das so machen willst, hast du ein Problem beim Auflösen von |x-2| . Im 1. Fall ist dann nämlich das Argument x-2 teilweise negativ und teilweise positiv. Du mußt die Intervalle so wählen, daß sich in ihnen das Vorzeichen der Argumente nicht verändert.

Und wenn dein 1. Fall "x>=-1 ; x>=+2" (implizit steht da ein "und" dazwischen) lautet, dann ist das eben identisch mit . smile
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist gibt dort doch jetzt 3 Fälle oder sogar 4 Fälle.

Und zu der Frage zu den Intervallen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
Aber ist gibt dort doch jetzt 3 Fälle oder sogar 4 Fälle.

Nun ja, eigentlich nur 3 Fälle. Der 4. Fall ist obsolet.
Im Grunde richtet sich die Anzahl der Fälle nach der Anzahl der Nullstellen der Betragsargumente. Die Anzahl der Fälle ist genau 1 größer. smile

Zitat:
Original von crunky
Und zu der Frage zu den Intervallen?

Dazu hatte ich was gesagt oder was meinst du jetzt?
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

obsolet <- Etwas ist veraltet und wird nicht mehr gebraucht(Video Rekorder)
redudant meinst du glaub eher oder?

Oh hatte deinen einen Post übersehen.
Ahhh okay also sind die X-Werte überall gleich. Daher kannst du das Intervall zusammenfassen. okay das macht Sinn. ICh Rechne mal weiter.

Ich weis jetzt aber nicht wie du das 3 Intervall machst (zwischen -1 und 2). Habe beide Betraggleichung in Fälle gesetzt. Ich kann doch jetzt nur noch ausrechnen:

Fall 1:
Berechnung
x+1-x-2=25
0=26

Fall 2:
Berechnung
-x-1+x+2=25
0=24
... Hammer

Wie eben angesprochen kann man ja noch einen 3. Fall berechnen:
x+1-(-(x-2))=25
x+1+x+2=25
x²=23
x=4,796
Da weis ich aber nicht wie ich das Intervall dafür bestimmt.
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

sry kanns nicht mehr Editieren. ISt das Intervall im Fall 3: -1<=x<2 ?
Wenn ja passt mein Ergebnis auch nicht in dieses Intervall Big Laugh ...

Also gut die erste Aufgabe verstehe ich. Bei der Zweiten finde ich keine Lösung und bei C) könnt ihr mich an den Pranger stellen. Big Laugh
Hatte das schon einmal gefragt. Muss ich C) erst umstellen das alle Beträge auf einer Seite sind? Und bei C gibt es doch dann etliche Fall Unterscheidungen? traurig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
Fall 1:
Berechnung
x+1-x-2=25
0=26

Richtig ist:
x+1-(x-2)=25
0=22
Also in diesem Fall keine Lösung.

Zitat:
Original von crunky
Fall 2:
Berechnung
-x-1+x+2=25
0=24

Richtig ist:
-(x+1) - (-(x-2)) = 25
-x-1+x-2=25
0=28
Also in diesem Fall auch keine Lösung.

Zitat:
Original von crunky
Wie eben angesprochen kann man ja noch einen 3. Fall berechnen:
x+1-(-(x-2))=25
x+1+x+2=25
x²=23

Wie du hier auf das x² kommst, ist mir völlig ein Rätsel. verwirrt

Zitat:
Original von crunky
sry kanns nicht mehr Editieren. ISt das Intervall im Fall 3: -1<=x<2 ?
Wenn ja passt mein Ergebnis auch nicht in dieses Intervall Big Laugh ...

Ja, das Intervall ist richtig. Und so sieht das im Koordinatensystem aus:



Wie man sieht, erreicht der Graph an keiner Stelle den Wert y=25.

Zitat:
Original von crunky
Also gut die erste Aufgabe verstehe ich. Bei der Zweiten finde ich keine Lösung und bei C) könnt ihr mich an den Pranger stellen. Big Laugh
Hatte das schon einmal gefragt. Muss ich C) erst umstellen das alle Beträge auf einer Seite sind? Und bei C gibt es doch dann etliche Fall Unterscheidungen? traurig

Nein, du mußt die Beträge nicht umstellen. Und ich hatte es schon mal gesagt: die Anzahl der Fallunterscheidungen ist maximal die Anzahl der Beträge plus 1.

Da du dich offensichtlich so schwer damit tust, sei die Frage erlaubt: welchen Schulabschluß hast du, welche Ausbildung machst du jetzt und mußt du unbedingt dazu Mathe machen?
crunky Auf diesen Beitrag antworten »

Es war ziemlich spät gestern. Muss gerade slerber über meine Fehler lachen Big Laugh
Ich tu mir logisch ziemlich schwer. Ich habe am Anfang geschrieben das ich davon überhaupt keine Ahnung habe und trotzdem lässt du mich hier Try&Error Maßnahmen durcharbeiten. Das ich dabei wie ein Idiot dastehe ist ja wohl logisch.

Ich habe mein Abi und studiere Agrarwissenschaften. Aber in meiner ganzen Schulzeit konnte ich mich gut um Beträge schummeln.

Es ist auch Explizit das Thema und bssl Kombinatorik die mir Probleme bereiten Big Laugh . Vektoren Statistik usw laufen hingegen wesentlcih besser.

x+1+x+2=25
2x=23
x=11,5

Aber auch 11,5 sind nicht im Intervall des dritten Falles.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crunky
x+1+x+2=25
2x=23
x=11,5
Abgesehen davon, daß sowohl die 1. Gleichung als auch die weitere Rechnung falsch ist, mußt du schon sagen, für welchen Fall das ist.

Und nochmal: wie du an dem Funktionsgraphen erkennen kannst, wird niemals die 25 erreicht. Es gibt also keine Lösung von der Gleichung. smile

Zitat:
Original von crunky
Ich habe am Anfang geschrieben das ich davon überhaupt keine Ahnung habe und trotzdem lässt du mich hier Try&Error Maßnahmen durcharbeiten.

Manchmal wäre es schon hilfreich, wenn jemand etwas genauer beschreibt, auf welchem mathematischen Stand er ist und was sein bisheriger Werdegang ist. Irgendwie muß man ja ein Gefühl bekommen, welches Wissen man voraussetzen kann.

Es geht auch nicht um Try&Error, sondern darum, daß du lernst, strukturiert zu arbeiten und genau darlegst, welche Fälle du betrachtest, und die dann auch konsequent abarbeitest.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »