Neigungswinkel einer Ebene bestimmen

27.03.2013, 09:13

134340

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Neigungswinkel einer Ebene bestimmen

Guten Morgen Wink

Wink

Wie kann ich den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ der Ebene $\begin{eqnarray*} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegen die $\begin{eqnarray*} x_1/x_2 \end{eqnarray*}$ -Ebene (die Koordinatenachsen heißen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ ) bestimmen?
Das mit der Winkelbestimmung habe ich leider noch nicht so ganz verstanden unglücklich

unglücklich

Verwende ich hier die Formel $\begin{eqnarray*} cos\lambda =\frac{\vec{a} * \vec{b} }{|\vec{a}|*|\vec{b}| } \end{eqnarray*}$ wenn ja, wie mache ich das? Big Laugh

Big Laugh

27.03.2013, 09:23

mYthos

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Bestimme den Normalvektor der Ebene und von diesem den Winkel mit der x3-Achse.
Der gesuchte Winkel ist dann ... (?)

mY+

27.03.2013, 09:33

134340

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Der Normvektor ist $\begin{eqnarray*} \vec{n_F} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder? Und wie geht es jetzt weiter? Kommt jetzt die Cosinus-Formel zum einsatz?

27.03.2013, 09:39

mYthos

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Ja.
Aber der Normalvektor stimmt nicht.

27.03.2013, 09:42

134340

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Nicht?

geschockt

Ich habe den jetzt von der Koordinatengleichung abgelesen und die lautet bei mir $\begin{eqnarray*} x_3-4x_2+2x_1=8 \end{eqnarray*}$ ist das denn soweit richtig?

27.03.2013, 10:18

mYthos

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Die Koordinatenform stimmt (!).
Wie liest du daraus den Normalvektor ab?

Tipp: Ordne doch richtig, nach den Variablen x1, x2, x3 (x1 kommt also zuerst .. Big Laugh

Big Laugh

)

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27.03.2013, 10:32

134340

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Achso

Big Laugh

Ich dachte immer x3 kommt als erstes. Dann ist der Normvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und wie mache ich das jetzt genau mit der Cosinu-Formel, also mit welchem Vektor multiplizier ich denn den Normvektor?

27.03.2013, 10:51

mYthos

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Das stand schon da (wer lesen kann, ist klar im Vorteil Big Laugh

Big Laugh

):

Zitat:

Original von mYthos
Bestimme den Normalvektor der Ebene und von diesem den Winkel mit der x3-Achse.
Der gesuchte Winkel ist dann ... (?)

mY+

Also mit dem Einheitsvektor auf der x3-Achse

27.03.2013, 12:03

134340

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Demnach hab ich einen Neigungswinkel von 77,4° ?

27.03.2013, 12:38

mYthos

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Das ist aber noch nicht der gesuchte Winkel! Nämlich welcher?
Und wie kommt man nun auf den wirklichen gesuchten Winkel?

28.03.2013, 08:14

134340

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Ich dachte das ist der gesuchte Winkel Big Laugh

Big Laugh

Ich blick nicht mehr wirklich durch. Was ist denn jetzt der gesuchte Winkel?

28.03.2013, 08:32

Bürgi

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Guten Morgen,

nur eine kurze Zwischenbemerkung - und dann bin ich wieder weg: Siehe Anhang!

28.03.2013, 09:08

134340

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Achsooo

Big Laugh

Danke für die Zeichnung, die ist echt super Freude

Freude

Jetzt hab ichs verstanden, man subtrahiert den Normwinkel von 180°. Demnach hab ich also $\begin{eqnarray*} 180°-77,4°=102,6° \end{eqnarray*}$ . Das müsste jetzt aber stimmen oder? Big Laugh

Big Laugh

28.03.2013, 14:23

opi

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Nein, der Winkel 77,4° war schon völlig richtig. smile

smile

Bei der Bestimmung des Schnittwinkels von Ebenen wird üblicherweise der kleinere der vier Winkel angegeben.

[attach]29295[/attach]

Die Berechnung erfolgt indirekt durch den Winkel zwischen den Normalenvektoren, Betragsstriche sorgen beim Skalarprodukt dafür, daß sich automatisch der kleinere Winkel ergibt.
$\begin{eqnarray*} \cos(\varphi)=\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} |}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2} |} \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 16:17

riwe

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dieser interpretation würde ich vorbehaltslos zustimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2013, 19:13

134340

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Jetzt hab ich zwei verschiedene Meinungen unglücklich

unglücklich

was ist denn nun richtig und warum? Ich hab ja ohne Betragsstriche im Zähler gerechnet, also $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi)=\frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} }{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2} |} \end{eqnarray*}$ Macht das einen Unterschied?

28.03.2013, 23:53

opi

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Bei Deiner Rechnung hatten die Betragsstriche keine Auswirkung, weil das Skalarprodukt sowieso schon positiv war.
$\begin{eqnarray*} \vec{n_2} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls ein Normalenvektor der $\begin{eqnarray*} x_1x_2\text{-Ebene.} \end{eqnarray*}$ Mit diesem NV kannst Du Deine Rechnung erneut durchführen und vergleichen.
Die Formel findet sich übrigens oft auch ohne Betragsstriche im Netz. Dort wird dann der Hinweis gegeben, bei einem Winkel >90° die Rechnung "180° minus errechnetem Winkel" durchzuführen. Naja.

30.03.2013, 01:21

mYthos

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Worauf ich hinaus wollte, war tatsächlich der Komplementärwinkel, wie es in der Zeichnung von Bürgi auch ersichtlich ist.
Es stimmt aber, dass man durchaus auch den kleineren Winkel, also die 77,4° als Lösung gelten lassen kann.
So gesehen war mein Einwand eventuell zu streng. Es sind beide Winkel möglich.
_______________________

Achtgeben muss man jedoch bei den Winkeln zwischen Ebenen und Geraden, denn dabei ist der Komplementärwinkel (Ergänzung auf 90°) des Winkels Normalvektor - Gerade als Lösung zu berechnen.

mY+

30.03.2013, 13:18

134340

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Ok, danke für eure Erklärungen smile

smile

Ich denke ich habs jetzt verstanden smile

smile

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