Komplexe Zahlen

27.03.2013, 09:55

Jessica19

Komplexe Zahlen

Hallo,

folgende Aufgabenstellung die ich zu meinem Bedauern nicht verstehe:

Bestimmen Sie alle 3. Wurzeln von

$\begin{eqnarray*} z=3,375*e^{i\frac{5}{4}\pi} \end{eqnarray*}$

Wer kann bitte weiterhelfen? traurig

27.03.2013, 10:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
Also einmal im Wiki suchen, kannst du auch selber:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

Scheint mir auch kein Thema für Schulmathe zu sein.

27.03.2013, 10:41

Jessica19

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
Ist das so richtig? Da $\begin{eqnarray*} k=0,1,..,n-1 \end{eqnarray*}$ muss ich nur k verändern bis 2 richtig?

$\begin{eqnarray*} z=3,375*e^{i\frac{5}{4} \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z}=\sqrt[n]{r}*e^{i\frac{\phi+2kn}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{3,375}*e^{i\frac{\frac{5}{4}\pi+2*0*3}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{3,375}*e^{i\frac{\frac{5}{4}\pi+2*1*3}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{3,375}*e^{i\frac{\frac{5}{4}\pi+2*2*3}{3}} \end{eqnarray*}$

27.03.2013, 10:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Jessica19
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{z}=\sqrt[n]{r}*e^{i\frac{\phi+2kn}{n}} \end{eqnarray*}$

Diese Formel hast du falsch abgeschrieben. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\phi+2k \pi}{n}} \end{eqnarray*}$

Du kannst ja auch deine Lösungen zur Kontrolle mit 3 potenzieren. smile

27.03.2013, 10:59

Jessica19

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
Abgesehen davon, dass ich statt dem n eine 3 geschrieben habe, ist der Lösungsweg richtig?

Und wie soll ich denn mein Ergebnis mit 3 potenzieren, wenn $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ noch drin enthalten ist. Da erhalte ich im Taschenrechner ohnehin Error.

27.03.2013, 11:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Jessica19
Abgesehen davon, dass ich statt dem n eine 3 geschrieben habe, ist der Lösungsweg richtig?

Also falls du es immer nocht nicht gesehen hast: im Exponenten der e-Funktion steht $\begin{eqnarray*} i \cdot \frac{\phi+2k \pi}{n} \end{eqnarray*}$ . Also das vermeintliche n im Zähler ist ein pi.

Und was das Potenzieren angeht, läßt du das i als i stehen. Beim Potenzieren der e-Funktion mußt du lediglich den Exponenten mit 3 multiplizieren.

27.03.2013, 11:19

Jessica19

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
Danke für den Hinweis.

Allerdings erhalte ich selbst nach einer Zahlenkorrektur 21/4 pi als Folge der Multiplikation des Exponenten mit 3 raus. Und ich weiß jetzt nicht inwieweit das Ergebnis der Potenzierung mir helfen kann...

27.03.2013, 11:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahlen
Na ja, eigentlich erhältst du im Fall k=2 (ohne den Faktor davor) $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot (5\pi / 4 + 4 \pi)} = e^{i \cdot 5\pi / 4 + 4 \pi i} \end{eqnarray*}$

Und jetzt hilft die elementare Erkenntnis, daß $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi + 2k \pi i} = e^{i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$ ist für alle ganzzahligen k. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahlen

Verwandte Themen