Körpererweiterung

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Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung
Hallo,

ich schlinger sehr mit folgender Aufgabe rum, da mir schlichtweg die Definition nicht klar ist! Es wäre nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen würde smile

Aufgabe:

Sei und

(a) Bestimmen Sie und

Wie genau ist definiert?

Im Skript habe ich gefunden, bringt mich aber auch nicht wirklich weiter, da ich nicht weiß was mit dem i passiert.

Dann wird argumentiert, dass und somit

sein muss!

Warum?

Besten Dank im vorraus!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körpererweiterung
Die Dimension einer Körpererweiterung über einem Grundkörper ist die Anzahl der Basiselemente, das ist gleichbedeutend mit dem Grad des Minimalpolynoms der Körpererweiterung über dem Körper.

Nun ist Nullstelle des Polynoms , dieses Polynom hat den Grad 2 und ist irreduzibel über , ist also Minimalpolynom der Körpererweiterung. Eine Basis über ist gegeben durch .

Die Dimension der Körpererweiterung ist also 2 (Grad des Minimalpolynoms und Anzahl der Basiselemente).

Die Elemente des Körper haben die Form mit .

Nun schauen wir uns einmal an und adjungieren an diesen Körper noch .

Wie schaut aus? Wie schaut aus?
 
 
Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsste dann ja so ausschauen...



und
Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich glaube, jetzt habe ich es verstanden....

wie oben beschrieben erweitert man von auf , weiß dann wegen des Minimalpolynoms, dass die Erweiterung vom Grad 2 ist und betrachtet anschließend die "nächste Erweiterung mit i.

i ist dann wiederum Nullstelle des Polynoms , wodurch der Grad der "nächsten" Körperweiterung feststeht und man kann ausnutzen, dass wenn Körper, Erweiterungskörper von und Erweiterungskörper von ist, dann gilt:

- ist EW-Körper von
- Gilt ,
so gilt

in unserem Fall also 4
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schreckschraube
Das müsste dann ja so ausschauen...



und


Das ist richtig, und man kann hier auch prima eine Basis ablesen, nämlich die Basis , damit ist die Dimension über tatsächlich 4.

Die zweite Ausführungen sind anch Gradsatz auch richtig, bzw. ist das der Gradsatz, den du beschreibst.
Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die tolle Hilfe! Freude
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne wieder
Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

Mal wieder am Schreibtisch angekommen, ergibt sich dann doch noch die ein oder andere Unklarheit bei der nächsten Teilaufgabe, die wäre:

Zeigen Sie: Es gilt

Lösung:

Wegen gilt

Weiter gilt ,

also

und somit sind.

Danke im vorraus!

die Probleme fangen mit dem "also" in der vorletzten Zeile an. Ist die 1 im Zähler ein Tippfehler??!?! Und warum gelten die Element Zeichen? Ich verstehe nicht, warum sowohl der Bruch als auch der letzte Ausdruck
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
habe den beweis verstanden und helfe dir gern weiter:
es ist ja zu zeigen .
Im grunde muss man hier 2 sachen zeigen, einmal das jedes element aus der linken körpererweiterung
sich auch in der rechten körpererweiterung befindet und umgekehrt.
Die eine richtung ist einfach, wenn und in der körpererweiterung liegen, dann
muss die summe von beiden ja auch darin sein.
Die zweite richtung ist etwas schwieriger, wenn in der körpererweiterung liegt, ist zu zeigen, dass dann auch und in der körpererweiterung liegen. In der gleichung in dem beweis berechnet man zunächst
(das mit der 1 ist ein tippfehler) und erkennt, dass
dann auch in der körpererweiterung liegen muss. Wenn man
die beiden grössen dann addiert und halbiert, bleibt dann stehen, also
muss auch in der körpererweitung sein, und das war ja zu zeigen.
(uff, das war aber aufwändig zu erklären)
gruss ollie3
Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für die Erklärung! Was generell bei dem Beweis passiert, ist klar.

Aber warum genau ist

Für dich scheint es auch offensichtlich zu sein aber mir ist es nicht klar verwirrt

Sehe ich das richtig, dass
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
das 2/(sqrt5+sqrt7) in Q(sqrt5+sqrt7) liegt, liegt daran, dass wenn man in
einem körper 2 elemente miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert oder
dividiert, das ergebnis dann immer auch in diesem körper liegen muss(das nennt
man abgeschlossenheit bzl. dieser operationen).
gruss ollie3
Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer vielen Dank....das war dann wohl das bekannte Brett vorm Kopf Augenzwinkern

Danke!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schreckschraube
Sehe ich das richtig, dass


Nein, das ist nicht richtig. Das Minimalpolynom vom hat den Grad 4, also ist

Schreckschraube Auf diesen Beitrag antworten »

ah super danke! Dann ist mir jetzt auch klar, warum ich damit gegen die Wand gefahren bin Big Laugh
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