Definitionsbereich

27.03.2013, 15:30

Helftmir

Definitionsbereich

Meine Frage:
Hallo!

Es soll der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f(x)=(2+\frac{1}{x})^{x} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Meine Ideen:
Zunächst darf die 0 scheinbar nicht eigesetzt werden, durch die Grenzwertbetrachtung x->0 zeigt sich allerdings, dass f(0)=1 ist.

Somit würden alle reellen Zahlen zum Definitionsbereich gehören. Ich wollte es auf www.wolframalpha.com überprüfen, dort wird allerdings $\begin{eqnarray*} D=\left\{ x\in \mathbb R : x<-0,50 oder x>0\right\} \end{eqnarray*}$ angegeben. Wieso werden hier die Zahlen zwischen -0,5 und 0 ausgeschlossen?

Grüße.

27.03.2013, 15:44

Steffen Bühler

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RE: Definitionsbereich

Zitat:

Original von Helftmir
Wieso werden hier die Zahlen zwischen -0,5 und 0 ausgeschlossen?

Vielleicht, weil die Werte dort komplex sind? Soll f(x) auf R abbilden?

EDIT: Und x=-0,5 sowie x=0 ergeben in der Tat eine Singularität.

Viele Grüße
Steffen

27.03.2013, 15:47

komplexer

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RE: Definitionsbereich

Zitat:

Original von Helftmir
Meine Ideen:
Zunächst darf die 0 scheinbar nicht eigesetzt werden

Nicht nur scheinbar. Die Division durch 0 ist nicht definiert, deshalb ist die 0 aus dem Definitionsbereich auszuschließen.

Zitat:

Original von Helftmir
Meine Ideen:
durch die Grenzwertbetrachtung x->0 zeigt sich allerdings, dass f(0)=1 ist.

Das stimmt nicht, die Grenzwertbetrachtung zeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ gilt, sonst nichts.

Zitat:

Original von Helftmir
Somit würden alle reellen Zahlen zum Definitionsbereich gehören. Ich wollte es auf www.wolframalpha.com überprüfen, dort wird allerdings $\begin{eqnarray*} D=\left\{ x\in \mathbb R : x<-0,50 oder x>0\right\} \end{eqnarray*}$ angegeben. Wieso werden hier die Zahlen zwischen -0,5 und 0 ausgeschlossen?

Grüße.

Eben nicht, die 0 ist definitiv ausgeschlossen. Warum die anderen Werte ausgeschlossen sind, erkennst Du wenn Du z.B. mal $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ einsetzt.

27.03.2013, 15:53

Helftmir

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Hi Steffen,

danke für deine Antwort.

f(x) bildet auf R+ ab. Es ist wohl tatsächlich so, dass in diesem Intervall einige Funktionswerte complex werden, zB x=-0,10. Aber ein wenig verwirrend finde ich es schon. f(-1/3) ist laut Taschenrechner -1 und mit WolframAlpha 0,5+0,87i.

Eigentlich müsste es doch für x=-1/3 einen reellen Wert geben da $\begin{eqnarray*} (2+\frac{1}{-1/3})^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{-1} } \end{eqnarray*}$ . Die dritte Wurzel ist doch auch für negative Werte definiert?

27.03.2013, 15:59

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Helftmir
$\begin{eqnarray*} (2+\frac{1}{-1/3})^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{-1} } \end{eqnarray*}$ . Die dritte Wurzel ist doch auch für negative Werte definiert?

Ja, in der Tat ist eine der drei dritten Wurzeln von -1 wiederum die reelle Zahl -1. Aber die zwei anderen Wurzeln inklusive dem Hauptwert sind komplex.

Viele Grüße
Steffen

27.03.2013, 16:06

Helftmir

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Ah, ja klar: x³=-1 liefert drei Lösungen, zwei davon complex....

Denke die größte Unklarheit ist somit beseitigt. Vielen Dank smile

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