Jordan-Normalform von 4x4

27.03.2013, 18:46

Studentu2012

Jordan-Normalform von 4x4

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben seien die reellen Matrizen A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 4 & 0 & 0 \\ -6 & 4 & 0 & 1 \\ -8 & 6 & -4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ -9 & 5 & 0 & 0 \\ -6 & 2 & 2 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Bestimme zu A und B ähnliche Matrizen in Jordan-Normalform. Zeige dann: Die beiden Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom und dasselbe Minimalpolynom, sind aber nicht ähnlich.

Meine Ideen:
Ich will mir nun zuerst die Determinante von (A- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E) berechnen. Muss ich hierbei die Matrix (A-- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E) anschreiben und deren Determinante berechnen (da ist bei mir $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^2/4+1 herausgekommen) oder kann ich die Matrix A auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix A' bringen und dann die Determinante von (A' - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E) berechnen?
Danke für eure Hilfe!

27.03.2013, 20:03

Reksilat

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RE: Jordan-Normalform von 4x4
Wenn Du meinst, dass Du A mittels Gauß auf Dreiecksgestalt bringen willst, so bist Du auf dem Holzweg. Das charakteristische Polynom bleibt nur unter Ähnlichkeitstransformationen invariant.
Solche Transformationen sind dann im Allgemeinen aber nicht so leicht zu sehen und hier auch gar nicht nötig, da Deine Matrizen ja Blockdiagonalgestalt haben und sich die Berechnung der Determinante somit jeweils auf zwei 2x2-Matrizen reduziert.

Dein Ergebnis ist übrigens falsch. Das char. Polynom hat hier jeweils den Grad 4, da es sich um 4x4-Matrizen handelt.

Gruß
Reksilat

27.03.2013, 20:40

Studentu2012

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RE: Jordan-Normalform von 4x4
Danke für deine Antwort!
Meinst du mit Berechnung der Determinante von 2x2 Matrizen, dass ich mir sowohl bei A als auch B jeweils 4 Determinanten von 2x2 Matrizen ausrechne und diese dann miteinander multipliziere? Wo schreibe ich dann aber das "-[latex]\lambda[latex/]"an?

27.03.2013, 20:46

Reksilat

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RE: Jordan-Normalform von 4x4
Du schreibst zuerst das $\begin{eqnarray*} -\lambda \end{eqnarray*}$ auf die Diagonale (Du willst ja schließlich immer noch die Determinate von $\begin{eqnarray*} A-\lambda E \end{eqnarray*}$ berechnen).
Beim Berechnen kannst Du dann eventuell das hier verwenden: http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Blockmatrizen

28.03.2013, 00:00

Studentu2012

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RE: Jordan-Normalform von 4x4
okay, danke. das is jetzt viel leichter gegangen und als eigenwert hab ich 2 rausbekommen (als det: (x^2 - 4x + 4)^2)

29.03.2013, 18:43

Studentu2012

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Also bei A ist mir der Eigenwert 2 bei Vielfachheit 4 herausgekommen, bei B ebenfalls. Ich habe dann rg(A-2*E4) berechnet (rg = 2). D.h., es kommen 2 Jordan-Matrizen J(2) vor, oder? Der Rang (B-2*E4) ist 3.
Jetzt weiß ich nicht ganz, wie ich weitermachen soll und wie ich auf die Stufen und so komme. Könnt ihr mir bitte nochmal helfen?

30.03.2013, 16:28

Reksilat

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Der Eigenwert 2 ist korrekt und auch die algebraische(!) Vielfachheit.

Mit dem Rang von $\begin{eqnarray*} A-2E_4 \end{eqnarray*}$ berechnest Du dann die geometrische Vielfachheit. Diese gibt Dir die Anzahl der Jordanblöcke an. Gibt es zwei Blöcke, so können es zwei 2x2-Blöcke oder aber ein 1x1 sowie ein 3x3-Block sein.
Wenn Du Dir die beiden möglichen Formen mal aufmalst, dann siehst Du, dass in einem Fall $\begin{eqnarray*} (J_A-2E_4)^2=0 \end{eqnarray*}$ ist und im anderen Fall nicht. Demenstsprechend musst Du nur noch testen, ob $\begin{eqnarray*} (A-2E_4)^2=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Der Rang (B-2*E4) ist 3.

Kann nicht sein, da bei $\begin{eqnarray*} B-2E_4 \end{eqnarray*}$ die letzten beiden Spalten Null sind.

Gruß
Reksilat

30.03.2013, 17:06

Studentu

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ja... mit dem Rang von (B-2E4) hast du natürlich Recht. Er ist 1, somit ist die geometrische Vielfachheit 1, ist das richtig? Dann rechne ich 4-1 = 3, das beudeutet, es kommen 3 Jordan-Matrizen vor, oder?
Und wie geht das jetzt mit dem Ausrechnen der Form der Jordan-Matrizen? Muss ich nicht den Rang von (B-2E4)^2 oder (B-2E4)^3 berechnen oder so ähnlich?
Wie hast du das eigtl gemeint bei A, dass ich beide mögliche Formen aufmalen soll und dann sehe, dass (JA - 2E4)^2 = 0? ... Der Teil, den ich daran nicht verstehe, ist, was ich für JA einsetzen soll und was mir das dann aussagt, dass es hier 0 ergibt und im anderen Fall nicht?

30.03.2013, 17:24

Reksilat

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RE: Jordan-Normalform von 4x4
Wenn bei B der Rang von $\begin{eqnarray*} B-2E \end{eqnarray*}$ 1 ist, dann hat der Kern von $\begin{eqnarray*} B-2E \end{eqnarray*}$ (d.h. der Eigenraum von B zum EIgenwert 2) die Dimension 3. Also ist die geometrische Vielfachheit 3.
Damit gibt es auch drei Jordanblöcke und dann gibt es nicht mehr viel Möglichkeiten, wie groß diese sein können, da sie ja zusammen in eine 4x4-Matrix passen müssen. Augenzwinkern

Mehr gibt es in diesem Fall nicht zu rechnen.

Im ersten Fall gibt es doch zwei Möglichkeiten, wie die Jordan-Form aussehen kann. Setze für $\begin{eqnarray*} J_A \end{eqnarray*}$ diese beiden Möglichkeiten ein.

30.03.2013, 18:23

Studentu

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Danke für deine Antwort.
Also ich habe jetzt berechnet, dass (JA-2E4)^2 = 0, wenn ich 2 2x2-Matrizen für JA nehme. Was sagt mir das Ergebnis jetzt?
Außerdem habe ich überprüft, dass (A-2E4)^2 = 0 ergibt, aber was sagt mir das Ergebnis? Was hätte ich tun müssen, wenn es nicht so gewesen wäre?
Was B betrifft, so gehe ich davon aus, dass es nur 2 1x1 Matirzen und 1 2x2 Matrix sein können. Wie kann ich diese Theorie überpüfen?
LG

30.03.2013, 20:24

Reksilat

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Zu A): Nimm doch mal einen 3x3-Block und einen 1x1- Block und Du wirst sehen, dass dann $\begin{eqnarray*} (J_A-2E)^2\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, womit diese Variante ausscheidet und die andere die einzig mögliche ist.

Zu B): Die einzige Möglichkeit, 4 als Summe dreier positiver ganzer Zahlen darzustellen, ist nunmal 1+1+2.

Gruß
Reksilat

11.04.2013, 17:38

Studentu2012

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Danke für eure hilfreichen Antworten! smile

Nun hab ichs verstanden!

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