Ableitung Doppelter Logarithmus

27.03.2013, 21:46

Inquisitor

Ableitung Doppelter Logarithmus

Hallo bitte dringend um Hilfe, ich habe dieses Forum gesehen, aber zu der Gleichung nix gefunden....

Vorausgesetzt das ich hier richtig bin,

habe ich eine Aufgabe bzw. habe keine Schimmer wie man diese löst:
Thema Ableitungen;

f(x) = Log2(Log3(x))
f´(x)= ?

Bitte um Hilfe!

mfg

27.03.2013, 21:58

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ABLEITUNG Doppelter Log!!

Zitat:

Original von Inquisitor

f(x) = Log2(Log3(x))
f´(x)= ?

.... sind 2 bzw 3 gemeint jeweils als Basis der Logarithmen?
.

27.03.2013, 22:02

Inquisitor

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, sind die Basen....
mfg

27.03.2013, 22:10

Lampe16

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal, ob Du mit $\begin{eqnarray*} \log_ax=\ln x /\ln a \end{eqnarray*}$ weiterkommst.

27.03.2013, 22:22

original

Auf diesen Beitrag antworten »

also dann:
schreibe diese Logarithmen um auf die Basis e

Beispiel :
$\begin{eqnarray*} log_{n} (u) = \frac{1}{ln(n)} \cdot ln(u) \end{eqnarray*}$

dann hast du - bis auf Konstante den Typ y= ln (ln(x))
und kannst unter Verwendung der Kettenregel ableiten

ok?

27.03.2013, 22:29

Inquisitor

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmmm

könnt Ihr mal da nachsehen :

http://ul.to/kqjlsgq2

(habe die Schrift fotographiert; hoffe es funkt so..)

lg

27.03.2013, 22:46

Inquisitor

Auf diesen Beitrag antworten »

muss mich noch mit der Schreibweise angewöhnen, bin mir aber beim Ergebniss nicht sicher..

$\begin{eqnarray*} f´(x)= \frac{1}{x*ln3*log3(x)*ln} \end{eqnarray*}$

hat das zufällig wer gerechnet?

mfg

28.03.2013, 00:01

Screwhal

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das stimmt nicht wirklich benutze den Vorschlag von Lampe16, also
$\begin{eqnarray*} log_3(x)=\frac{ln(x)}{ln(3)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} log_3(x)=\frac{ln(x)}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das nicht willst dann leite dir schnell die Ableitungsregel für Logarithmen beliebiger Basis her:

$\begin{eqnarray*} a^x=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln(a)\cdot x}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {ln(a)\cdot x}=ln(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln(y)}{ln(a)}=log_a(y) \end{eqnarray*}$

Mit der Ableitung von ln folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x\cdot ln(a)}=(log_a(y))' \end{eqnarray*}$

Wenn du dir nicht sicher bist was der ln abgeleitet wird wende die Definition der Ableitung an also

$\begin{eqnarray*} (ln(x))'=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} ln(1+\frac{h}{x_0} )^{1/h} \end{eqnarray*}$

Mit der Definition von e:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (1+\frac{h}{x_0} )^{1/h} = e^{1/x} \end{eqnarray*}$

folgt dann da der ln stetig ist und du den GW reinziehen kannst:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} ln(1+\frac{h}{x_0} )^{1/h} = {1/x} \end{eqnarray*}$ .

Das Einzige das du noch brauchen könntest sind die Ableitungsregeln, ich zeige dir den Beweis für die Multiplikation.

Nach der Leibnitzregel soll gelten:

$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0) + f(x_0)\cdot g'(x_0)<br /> \end{eqnarray*}$

Nach der äquivalenten Formulierung der Definition für Ableitungen müssen wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left(\frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0} \right) \end{eqnarray*}$

berechnen, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left(\frac{f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{x-x_0} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left(\frac{f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g(x_0)}{x-x_0} \right)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left(\frac{g(x) \cdot (f(x)-f(x_0)) + f(x_0)\cdot (g(x)-g(x_0))}{x-x_0} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left(\frac{g(x) \cdot (f(x)-f(x_0))}{x-x_0} \right)<br /> +\lim_{x \to x_0} \left(\ \frac{g(x) \cdot (g(x)-g(x_0))}{x-x_0} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = g(x_0) \cdot f'(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \end{eqnarray*}$

Die Behauptung ist somit gezeigt. Die anderen Formeln kannst du im Internet nachlesen wichtig ist nur dass du dir bewusst bist dass die Definition das stärkste Argument ist. Die Regeln sind eine Abkürzung mit denen es schneller geht aber sie basieren auch auf der Definition.

In deinem konkreten Beispiel setzt du f:=log_2(x) und g:=log_3(x)
und wendest die Kettenregel an. Sie besagt

$\begin{eqnarray*} (g o f)'=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) \end{eqnarray*}$

Der Beweis ist etwas anderes hier geht man auf den Grundgedanken der Diff.rechnung zurück und benutz dass f/g diffbar sind gdw eine stetige Funktion a/b existiert so dass:

f(x)-f(x0)=(x-x0)a(x)

g(x)-g(x0)=(x-x0)b(x)

mit y=f(x) und Übergabe an g folgt

$\begin{eqnarray*} g(f(x))-g(f(x_0))=(f(x)-f(x_0))b(f(x))=(x-x_0)a(x)b(f(x)) \end{eqnarray*}$

Mit x->x_0

$\begin{eqnarray*} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{(x-x_0)} = a(x)b(f(x)) \end{eqnarray*}$

wird der Bruch zu (g o f)' und a zur Ableitung von f und b zur Ableitung von g damit ist alles gezeigt hoffe es ist alles klarer jetzt

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung Doppelter Logarithmus

Verwandte Themen