Kostentheorie totaler FV - Seite 2

31.03.2013, 05:10

owadue

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wie siehts hiermit aus?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375r1^{-0,5}*r2^{0,5}+\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375r1^{0,5}*r2^{-0,5}+\lambda \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist, wie geht es dann weiter?

31.03.2013, 09:35

RavenOnJ

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Zitat:

Original von owadue
wie siehts hiermit aus?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375r_1^{-0,5}*r_2^{0,5}+\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375r_1^{0,5}*r_2^{-0,5}+\lambda \end{eqnarray*}$

Das sieht (mit kleinen Korrekturen an der Schreibweise) schon besser aus, stimmt aber immer noch nicht ganz. Es fehlen die richtigen Vorfaktoren für die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Guck dir noch mal scharf die Lagrange-Funktion an. Außerdem schreibt man vielleicht besser

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}+{\color{red}?}\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}+{\color{red}?}\lambda \end{eqnarray*}$

(oder mit Exponenten 0.5 statt Wurzelzeichen, wenn dir das besser gefällt) dann dürftest du eher sehen, was du mit dem $\begin{align*} r_1/r_2 \end{align*}$ bzw. dessen Kehrwert machen kann.

Diese partiellen Ableitungen müssen dann noch =0 gesetzt werden, denn man sucht ein Extremum.

31.03.2013, 11:12

HeiniDerBrain

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kurzer Vorschlag +2,5 und +10? da wo die "Fragezeichen" sind?

31.03.2013, 11:20

RavenOnJ

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genau. Und weiter?

31.03.2013, 11:44

HeiniDerBrain

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die letzte Ableitung nach Lambda? oder drehen wir uns im Kreise?

31.03.2013, 12:09

RavenOnJ

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Die partielle Ableitung nach lambda bringt nicht viel, das liefert nur wieder die Nebenbedingung. Es gilt jetzt, die partiellen Ableitungen = 0 zu setzen und dann weiter rechnen.

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31.03.2013, 12:17

HeiniDerBrain

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dann würde ich Vorschlagen

(0,375r1^-0,5 * r2^0,5) / (0,375r1^0,5 * r2^-0,5) = 1 / 4

sry dass ich kein Latex verwende, will manchmal nicht so wie ich will.

31.03.2013, 12:24

RavenOnJ

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Zitat:

Original von HeiniDerBrain
dann würde ich Vorschlagen

$\begin{eqnarray*} (0,375 r_1^{-0,5} * r_2^{0,5}) / (0,375 r_1^{0,5} * r_2^{-0,5}) = 1 / 4 \end{eqnarray*}$

(hab das mal etwas mit Latex formatiert. Wenn ein Ausdruck im Exponenten steht, der nicht nur aus einem Zeichen besteht, dann muss er mit geschweiften Klammern {...} eingefasst werden.)

Dann rechne weiter. Dies kann man noch zusammenfassen.

Zitat:

sry dass ich kein Latex verwende, will manchmal nicht so wie ich will.

die Formel einfach mit Latex-Tags einfassen: In der Kurzform

code:
1:	[l]...[/l]

oder in der Langform

code:
1:	[latex]...[/latex]

31.03.2013, 12:41

HeiniDerBrain

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ich würde gern erstmal den owadue das lesen & antworten lassen schließlich ist es sein Thread. Verabschiede mich vorerst Frohe ostern.

31.03.2013, 12:45

RavenOnJ

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das ist fair, du hast es immerhin jetzt schon halb gelöst. Auch dir frohe Ostern und viele Eier Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

31.03.2013, 16:23

owadue

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$\begin{eqnarray*} (0,375 r_1^{-0,5} * r_2^{0,5}) / (0,375 r_1^{0,5} * r_2^{-0,5}) = 1 / 4 \end{eqnarray*}$
[/quote]

Gleich null gesetzt habe ich, aber wie kommt der Schritt jetzt zustande, dass ich
die partielle abletiung nach r1 geteilt durch die Albleitung nach r2 mache??

31.03.2013, 16:51

owadue

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Also wenn ich gleich Null gesetzt habe beide parteille Ableitungen, gilt hier wird dieser Zusammenhang?

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{dr_2}{dr_1} \right| =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

bzw dieser

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{dr_2}{dr_1} \right| =\frac{\frac{\partial L }{\partial r_1} }{\frac{\partial L }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 17:18

owadue

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$\begin{eqnarray*} (0,375 r_1^{-0,5} * r_2^{0,5}) / (0,375 r_1^{0,5} * r_2^{-0,5}) = 1 / 4 \end{eqnarray*}$

wie fasse ich das weiter zusammen?

und wieso steht 1/4 auf der anderen Seite?

Ich könnte kürzen

$\begin{eqnarray*} (r_1^{-0,5} * r_2^{0,5}) / (r_1^{0,5} * r_2^{-0,5}) = 1 / 4 \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 17:26

Kasen75

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Wenn du die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ gebildet hast, dann kannst du daraus folgende Verhältnisgleichung herstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{p_2} =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

Das andere stimmt zwar auch, ist aber bei dieser Aufgabe nicht von Relevanz.

$\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ sind die Faktorpreise der jeweiligen Inputaktoren $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$

Deswegen haben wir ja auch so darauf bestanden, dass du die Lagrangefunktion ableitest.

Hier $\begin{eqnarray*} \frac{0,375 \cdot r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,5}}{ 0,375\cdot r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,5}} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

kannst du die Potenzregeln anwenden um auf das Verhältnis von $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ zu kommen. Und vor allem kannst du erstmal kürzen.

31.03.2013, 17:34

owadue

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$\begin{eqnarray*} \frac{r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,5}}{r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,5}} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

soweit hätte ich jetzt gekürzt, das reicht wohl nicht oder?

31.03.2013, 17:53

Kasen75

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Nee, das reicht noch nicht.

Es gilt die Potenzregel: $\begin{eqnarray*} \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,5}}{r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,5}} = \frac{r_1^{-0,5}}{r_1^{0,5}} \cdot \frac{ r_2^{0,5}}{r_2^{-0,5}} \end{eqnarray*}$

kannst du jetzt bei jedem einzelnen Bruch die Potenzregel anwenden.

31.03.2013, 18:09

owadue

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Oki doki

also

1/ r1 * r2 = 1/4

r2 = 1/4r

Würde ich anschließend r2 in die Produktionsfunktion

x = 0,75r1^0,5 * r2^0,5

einsetzen?

Ich weiß nicht wo es jetzt leichter bzw. ein kürzerer Rechneweg ist, zu der Lösung die ich gepostet habe. Auf jeden Fall versteh ich es jetzt insgesamt schon besser...

31.03.2013, 18:27

Kasen75

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Das hat schon mal geklappt. Freude

Freude

Jetzt musst du erst den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ in die Nebenbedingung einsetzen. Dann hast du eine Gleichung mit nur noch der Variablen $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$
Somit kannst du dann einen ganz konkreten Wert für $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.
Die Nebenbedingung war ja: $\begin{eqnarray*} 2.5 r_1 + 10 r_2 = 720 \end{eqnarray*}$

Über das eben hergeleitete Verhältnis von $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ kannst du dann auch die Menge von $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Dann kannst du die beiden Werte in die Produktionsfunktion einsetzen und somit den maximalen Output bestimmen.

31.03.2013, 18:39

owadue

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Ok ich habe dann die Lösung

r1=144
r2=36
x=54

Aber wobei hilft mir denn jetzt die Lagrange Funktion?

Es wurde doch gar nix abgeküruzt oder vereinfacht?

31.03.2013, 18:52

RavenOnJ

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Das ist ein allgemein verwendbares Verfahren für solche Extremalprobleme mit Nebenbedingungen. Dass es bei deinem Problem auf anderem Weg auch klappt, liegt an der eher zufälligen Konstruktion deiner x-Funktion.

31.03.2013, 18:57

Kasen75

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Das Ergebnis stimmt schon mal. Freude

Freude

Mit der Lagrangefunktion wird auch erstmal nichts vereinfacht. Jedoch berechnest du so die Lösung des Maximierungsproblem, bei gegebenen Kosten. Wenn man die partielle Ableitung und die Potenzregeln beherrscht kann man die Lösung der Aufgabe relativ schnell ermitteln. Das ist eigentlich auch der einzige Weg. Mach einfach heute noch ein paar Aufgaben dazu.

Auch bei der von mir angegebenen Bedingung, $\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{p_2} =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$ , muss man erst die partiellen Ableitungen bilden um die Grenproduktivität der Faktoren zu bestimmen. Aber diese Bedingung muss erstmal analytisch (mathematisch und ökonomisch) hergeleitet werden. Diese Bedingung kann man nicht einfach so verwenden.

So wie es jetzt gemacht wurde, ist es der richtige Weg.

31.03.2013, 19:06

owadue

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Ich rechne ja aber nicht wirklich mit Lambda, wird es immer weggekürzt bei diesen aufgaben?

Zwei Fragen hätte ich noch

Ich habe ja folgendermaßen abgeleiten

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375r1^{-0,5}*r2^{0,5}+2,5\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375r1^{0,5}*r2^{-0,5}+10\lambda \end{eqnarray*}$

Dann kam ja das Verhältnis

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{p_2} =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

und daraus wurde ja dann

$\begin{eqnarray*} \frac{0,375 \cdot r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,5}}{ 0,375\cdot r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,5}} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

die 2,5 und die 10 sind p1 und p2 also p1/p2 = 2,5/10 = 1/4

Kürzt man das Lambda einfach weg oder fällt es weg

Kann ich das immer so machen?

Weil sonst hätte ich ja auch ohne Lagrange ableiten können.
Denn p1 und p2 wären auch so gegeben....

31.03.2013, 19:26

Kasen75

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Zitat:

Original von owadue
Ich rechne ja aber nicht wirklich mit Lambda, wird es immer weggekürzt bei diesen aufgaben?

Bei dieser Art von Kostenfunktion kürzt sich Lambda im Allgemeinen weg.

Zwei Fragen hätte ich noch

Ich habe ja folgendermaßen abgeleiten

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375r1^{-0,5}*r2^{0,5}+2,5\lambda\textcolor{red}{=0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375r1^{0,5}*r2^{-0,5}+10\lambda\textcolor{red}{=0} \end{eqnarray*}$

Du hast vergessen die part. Ableitungen gleich Null zu setzen. Wenn du jetzt jeweils die zweiten Summanden auf die rechten Seiten bringst und die Gleichungen durcheinander teilst, dann hast du genau die unten stehende Bedingung mathematisch hergeleitet.

Dann kam ja das Verhältnis

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{p_2} =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

die 2,5 und die 10 sind p1 und p2

Kürzt man das Lambda einfach weg oder fällt es weg

Das Lambda kürzt sich dann weg, wenn man dann dort angekommen ist, wo man die Gleichungen durcheinander teilt.

Kann ich das immer so machen?

Du kannst es so machen wie du/wir es jetzt gemacht haben-mit der Lagrange-Funktion.

Weil sonst hätte ich ja auch ohne Lagrange ableiten können.
Denn p1 und p2 wären auch so gegeben....

Dazu lies meinen letzten Beitrag.

31.03.2013, 19:47

RavenOnJ

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Denk mal bitte darüber nach, wie HeiniDerBrain darauf gekommen ist. Du sitzt da einem gefährlichen Irrtum auf. Da werden normalerweise nicht einfach Gleichungen dividiert. Im allgemeinen Fall kann es mehrere Lagrange-Parameter geben.

31.03.2013, 19:49

owadue

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Ok abschließend noch mal meine Lösung die ich mit euch erarbeitet habe sauber aufgeschrieben.

aufgabe: gegeben: x= 0,75r1^0,5 * r2^0,5 und K= 1,5r1 + 10r2 und k=720

Lösung:

Zielfunktion: x= 0,75r1^0,5 * r2^0,5
Nebenbedingung: 720= 1,5r1 + 10r2

1. Aufstellen LaGrange Funktion

$\begin{eqnarray*} L(r_1,r_2,\lambda) = 0.75 \sqrt{ r_1 r_2} + \lambda(2.5 r_1 + 10 r_2 - 720) \end{eqnarray*}$

2. Partielle Ableitung Lagrange und =0

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375r1^{-0,5}*r2^{0,5}+2,5\lambda=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375r1^{0,5}*r2^{-0,5}+10\lambda=0 \end{eqnarray*}$

3. Ins Verhältnis setzen (Lambda kürzt sich weg)

$\begin{eqnarray*} \frac{0,375 \cdot r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,5}}{ 0,375\cdot r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,5}} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

r2 = 0,25r1

4. In Nebenbedingung einsetzen (r2)

$\begin{eqnarray*} 720 = 2,5 r1 + 2,5r1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r1=144 \end{eqnarray*}$

r1 oben eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} r2=(1/4)*144 = 36 \end{eqnarray*}$

5. In Produktions(Ziel)funktion eisetzen
$\begin{eqnarray*} x=0,75*144^{0,5}*36^{0,5}=54 \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} r1=144 , r2=36 und x=54 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist noch ein Koordinatensystem auf dem Aufgabenblatt,
Wie trage ich das dort ein?

31.03.2013, 21:09

owadue

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Ist es also so richtig? Wie kann ich Koordinatensystem füllen?

31.03.2013, 21:49

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ

Zitat:

Denk mal bitte darüber nach, wie HeiniDerBrain darauf gekommen ist.

Das ist mir durchaus bewusst. Jedoch gibt es bei solchen Aufgaben (Produktionstheorie, Mikroökonomie) immer nur eine Nebenbedingung. Es ist mir auch noch nie etwas anderes untergekommen.

@owadue
Im Prinzip richtig. Nur solltest du noch die Ausdrücke mit Lambda auf die andere Seite bringen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = 0,375r1^{-0,5}*r2^{0,5}+2,5\lambda=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = 0,375r1^{0,5}*r2^{-0,5}+10\lambda=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,375r1^{-0,5}*r2^{0,5}=-2,5\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ 0,375r1^{0,5}*r2^{-0,5}=-10\lambda \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie kann ich Koordinatensystem füllen?

Ich äußere jetzt mal eine Vermutung.

Das einzige was ich mir vorstellen könnte, ist, dass man x=54 setzt.

Dann ergibt sich die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 54= 0,75r_1^{0,5} * r_2^{0,5} \end{eqnarray*}$

Diese müsste man nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ (y-Wert) auflösen. Diese dann einzeichnen. Hierbei wäre $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ der x-Wert.

Die Kostenfunktion $\begin{eqnarray*} 720= 1,5r_1 + 10r_2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflösen und einzeichnen.

Aber das ist nur eine Vermutung. Ich kenne die genaue Aufgabenstellung nicht. Vielleicht kannst du nochmal genauer beschreiben, was laut Aufgabenstellung zu tun ist.

Eine Zeichnung habe ich drangehängt.

31.03.2013, 22:41

owadue

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Vielen Dank, endlich hab ich es verstanden.

In der Aufgabe steht nur gegeben

dann gesucht r1,r2 und x und daneben ein leeres Koordinatensystem.

Ich habe einen weiteren Thread zur Prduktionsfunktion tyb b eröffnet, jedoch noch keine Antwort von irgendeinem bekommen...

Könntest du mir da noch weiterhelfen?

Also war die Lösung zu dieser aufgabe so richtig ! Auch richtig formuliert?

Vielen Dank schonmal

31.03.2013, 23:31

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest noch statt diesem hier

Zitat:

4. In Nebenbedingung einsetzen (r2)

auch das hier schreiben: "4. In die Ableitung der Lagrangefunktion nach Lambda einsetzen."

Denn die Ableitung der Lagrangefunktion nach Lambda ist gerade die Nebenbedingung. Ich glaube mythos hatte das schon irgendwann erwähnt.

Aber sonst sieht alles sehr gut aus.

Bezüglich deines anderen Thema werde ich vielleicht später nochmal reinschauen.
Ich würde jetzt, wie schon gesagt, erstmal dein Gelerntes konsolidieren. Damit du das prinzipielle Vorgehen, die partiellen Ableitungen und die Anwendung Potenzregeln zügig und richtig wieder geben kannst.

01.04.2013, 00:02

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen75
Du warst natürlich nicht gemeint Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Ich hatte den Fragesteller angesprochen, da ihm das Verfahren offensichtlich nicht klar ist. Aber wenn du sagst, dass es in dem Fachbereich eigentlich immer nur eine Neben-(Zwangs-)bedingung gibt, ist das OK.

01.04.2013, 00:10

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ

Dann habe ich mich zu unrecht angesprochen gefühlt. Ups

Ups

01.04.2013, 00:25

owadue

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist das Verfahren mittlerweile eigentlich klar...

ich habe eine Aufgabe wo man $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ freistellen muss und so multiplizieren muss, dass Lambda auf der rechten Seite gleich ist

gegeben:

x=2r1^(1/3) * r2^(2/3)

p1=4 GE p2=8GE ; K= 960 GE

GESUCHT: r1,r2,x

Kostenfunktion hab ich aufgestellt:

960 = 4r1 + 8r2

Dann wieder Lagrange Funktion

Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_1} = (2/3)r1^{-2/3}*r2^{2/3}+4\lambda=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial r_2} = (4/3)r1^{1/3}*r2^{-1/3}+8\lambda=0 \end{eqnarray*}$

Hier müsste ich bevor ich es ins Verhältnis setze, die 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit 2 multiplizieren ?? Bzw die ganze Funktion dann...?

01.04.2013, 00:51

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hier müsste ich bevor ich es ins Verhältnis setze, die 4 mit 2 multiplizieren ?? Bzw die ganze Funktion dann...?

Musst du eigentlich nicht. Du musst nur die Ausdrücke mit den Lambdas bei beiden Gleichugen auf die rechte Seite bringen und dann kannst die Gleichungen "ins Verhältnis setzen".

Es sei denn du willst es unbedingt. Dann kannst du die ganze Ableitung nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit 2 multiplizieren. Danach wiederum "in Verhältnis setzen". Vorher natürlich die Ausdrücke mit den Lambdas auf die rechte Seite bringen.

01.04.2013, 01:07

owadue

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja weil anders kann ich wenn ich ins Verhältnis setze doch gar nicht kürzen...

oder?

wenn ich beides auf 8 Lambda bringe, darf ich das oder verstoße ich da gegen irgendeine Rechenregel

hast du noch zeit für die andere Frage in dem anderen thread?

01.04.2013, 01:16

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von owadue
Ja weil anders kann ich wenn ich ins Verhältnis setze doch gar nicht kürzen...

oder?

Du kannst soweit wie möglich kürzen. Ansonsten steht da ein Bruch da.

wenn ich beides auf 8 Lambda bringe, darf ich das oder verstoße ich da gegen irgendeine Rechenregel

Nein.

01.04.2013, 01:18

owadue

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesehr!

Noch Zeit für das Thema in dem anderen Thread?

01.04.2013, 01:23

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt kann ich mit dieser speziellen Aufgabenstellung nichts anfangen. Es mangelt mir somit vor allem am Verständnis der Aufgabe.

Viel lieber würde ich es sehen, wie die Aufgabe bei dir zu Ende gerechnet aussieht. Ich würde gerne beruhigt einschlafen können. Big Laugh

Big Laugh

01.04.2013, 01:40

owadue

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dabei gehts um die Verbrauchsfunktionen von Gutenberg..

Lösung zu der Aufgabe

Ableitung von r1 = (2/3)r1^(-2/3) * r2^(2/3) + 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0

Ableitung von r2 = (4/3)r1^(1/3) * r2^(-1/3) + 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0

Lambda nach rechts

r1 = (2/3)r1^(-2/3) * r2^(2/3) = - 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

r2 = (4/3)r1^(1/3) * r2^(-1/3) = - 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Die partielle Ableitung nach r1 multipliziere ich mit 2

r1 = (4/3)r1^(-2/3) * r2^(2/3) = - 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

r2 = (4/3)r1^(1/3) * r2^(-1/3) = - 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Wieder Verhältnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{4/3 \cdot r_1^{-2/3} \cdot r_2^{2/3}}{ 4/3 \cdot r_1^{1/3} \cdot r_2^{-1/3}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

r2 = 1/2*r1

In Nebenbedngung einsetzen

960=4r1 + 8 *1/2r1

r1= 120

r2 = 60

x= 2*120^1/3 * 60^2/3

x= 151,19

X ergibt ein komisches Ergebnis....

01.04.2013, 01:49

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von owadue

Die partielle Ableitung nach r1 multipliziere ich mit 2

$\begin{eqnarray*} r1 = 4/3r_1^{-2/3} * r_2^{2/3} =\textcolor{red}{ - 8}\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r2 = {4/3}r_1^{1/3} * r_2^{-1/3} = \textcolor{red}{ - 8} \lambda \end{eqnarray*}$

Wieder Verhältnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{4/3 \cdot r_1^{-2/3} \cdot r_2^{2/3}}{ 4/3 \cdot r_1^{1/3} \cdot r_2^{-1/3}} = \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Dir ist ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Siehe rote Markierungen. Es kommt ein schöneres Ergebnis heraus, als dein bisheriges.

01.04.2013, 01:53

owadue

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Aber wieso?

Ich dachte ...

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{p_2} =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

die 4/8 bleiben unberührt

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