Kostentheorie totaler FV - Seite 3

01.04.2013, 02:02

Kasen75

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Du warst doch auf dem richtigen Weg.

Die Formel die du jetzt aufgeschrieben hast, stimmt nach wie vor. Du hast nur eben, was nicht falsch ist, die Grenzproduktivität von $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und den Preis von $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ mit 2 multipliziert.

Formell ergibt sich daraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{2p_1}{p_2} =\frac{2\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } <br /> <br /> \Rightarrow \frac{p_1}{p_2} =\frac{\frac{\partial x }{\partial r_1} }{\frac{\partial x }{\partial r_2} } \end{eqnarray*}$

Das ist auch richtig, da man beide Seiten durch 2 teilen kann und man landet bei der ursprünglichen Bedingung.

Schau dir meinen letzten Beitrag an. Der 1. Teil war richtig. Einfach jetzt die beiden Gleichungen durcheinander dividieren.

01.04.2013, 02:05

owadue

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ich dachte es ist einfacher wenn ich das so mache, da ich dann oben und unten 4/3 habe die ich weg kürzen kann sonst bleiben oben im zähler die 2/3 und im Nenner die 4/3

dann weiß ich nicht wie ich den bruch vereinfache....

01.04.2013, 02:07

Kasen75

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Zitat:

ich dachte es ist einfacher wenn ich das so mache

Wenn es für dich so einfacher ist dann mach es so. Aber wie gesagt, schau dir meinen vorletzten Beitrag an. Und falls du den letzten noch nicht gelesen hast, dann diesen auch.

01.04.2013, 02:10

owadue

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Ok , wenn ich das so weiß, dass man dann auch das andere erweitern muss, dann geht das ja...

Kennst du die Produktionsfunktion vom Typ B, mit den Verbrauchsfunktionen??

01.04.2013, 02:37

Kasen75

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Zitat:

Ok , wenn ich das so weiß, dass man dann auch das andere erweitern muss, dann geht das ja...

Freut mich. smile

smile

Dann würde ich mich auch freuen, wenn du die weiteren 2,3 Zeilen deiner Rechnung noch postest, auch wenn ich sie "heute" nicht mehr anschauen werde.

Zitat:

Kennst du die Produktionsfunktion vom Typ B, mit den Verbrauchsfunktionen??

Poste einfach die vollständige Aufgabenstellung. Dann werde ich "morgen" ja sehen, ob ich diese Aufgabenstellung verstehe-oder ein anderer.
Wäre schön, wenn du dann schon einen Ansatz von dir postest.

Ansonsten kannst du heute noch eine letzte Aufgabe, gleicher Typ wie eben, rechnen, damit es dir in Fleisch in Blut übergeht.

Ansonsten gehe ich jetzt zu Bett. Gute Nacht. Wink

Wink

01.04.2013, 13:09

owadue

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Lösung zu der Aufgabe

Ableitung von r1 = (2/3)r1^(-2/3) * r2^(2/3) + 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0

Ableitung von r2 = (4/3)r1^(1/3) * r2^(-1/3) + 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 0

Lambda nach rechts

r1 = (2/3)r1^(-2/3) * r2^(2/3) = - 4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

r2 = (4/3)r1^(1/3) * r2^(-1/3) = - 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Die partielle Ableitung nach r1 multipliziere ich mit 2

r1 = (4/3)r1^(-2/3) * r2^(2/3) = - 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

r2 = (4/3)r1^(1/3) * r2^(-1/3) = - 8 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Wieder Verhältnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{4/3 \cdot r_1^{-2/3} \cdot r_2^{2/3}}{ 4/3 \cdot r_1^{1/3} \cdot r_2^{-1/3}} = 1 \end{eqnarray*}$

r2 = r1

In Nebenbedngung einsetzen

960=4r1 + 8r1

r1= 80

r2 = 80

x= 2*80^1/3 * 80^2/3

x= 160

Stimmt das so?

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01.04.2013, 13:22

Kasen75

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Perfekt gelöst. Freude

Freude

01.04.2013, 13:30

owadue

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Danke für die gute Hilfe...

Dei andere Aufgabe habe ich neu gepostet, Optimale Intensität ist irgendwie das Minimum der Kosten....

Kann ja nicht ganz anders sein als was wir bisher gemacht haben....

Brauche dringend Hilfe schreibe morgen Klausur

01.04.2013, 14:32

owadue

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Also ist die Minimalkostenkombination bei (r1=80; r2=80) und einer Menge von 160?

01.04.2013, 15:30

Kasen75

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Da die Kosten vorgegeben waren und der Output bzw. der Ertrag maximiert wurde ist die Antwort, dass die Maximalertragskombination bei $\begin{eqnarray*} r_1=80 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2=80 \end{eqnarray*}$ liegt. Der Ertag ist hierbei 160.

Die Minimalkostenkombination ist, wenn man bei gegebenen Output die Kosten minimiert.
Der äquivalente Lagrange-Ansatz dazu ist:

$\begin{eqnarray*} L=4 \cdot r_1+8 \cdot r_2 +\lambda(160-2\cdot r_1^{\frac{1}{3}} \cdot r_2^{\frac{2}{3}}) \to Min \end{eqnarray*}$

Den müsste man wie gewohnt lösen. Wenn du willst, kannst du schon mal anfangen. Einfach probieren. Auch wieder nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ erstmal ableiten usw.

01.04.2013, 15:37

owadue

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Also habe ich die Aufgabe ja falsch gemacht. Denn es ist nach der MMK gefragt.

Hab ich die Aufgabe davor dann auch falsch....

01.04.2013, 17:32

Kasen75

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Nein, du hast alles richtig gemacht. Freude

Freude

Es wurde ja der maximale Output, bei gegebenen Kosten, gesucht.
Von mir aus kannst du es in der Antwort auch Minimalkostenkombination nennen. Wenn es so verlangt wird.

01.04.2013, 17:35

owadue

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Ja aber dafür hast du mir doch eine andere Lagrange funktion genannt, dann kommt doch ein anderes ergebnis raus

01.04.2013, 17:55

Kasen75

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Das Ergebnis ist sogar bezüglich $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ das gleiche. Auch die Kosten und der Ertrag sind die gleichen.

Nur ist bei deiner Berechnung die Kosten gegeben. Du kannst auch gar nicht anders rechnen, da in der Aufgabenstellung die Kosten gegeben sind und der maximale Output gesucht ist.

$\begin{eqnarray*} L=2\cdot r1^{1/3} \cdot r2^{2/3}+\lambda( 4r1 + 8r2-960) \to Max \end{eqnarray*}$
__________________________________________________

Bei der "neuen" Aufstellung der Lagrangefunktion sind die minimalen Kosten gesucht und der Output ist gegeben. Das kannst du aber so nicht auf deine Aufgabe anwenden, da der Output nicht gegeben ist. Ich habe bei der Aufstellung der Lagrangefunktion das Ergebnis des Outputs eingesetzt, welches du schon berechnet hast.

$\begin{eqnarray*} L=4 \cdot r_1+8 \cdot r_2 +\lambda(\textcolor{red}{160}-2\cdot r_1^{\frac{1}{3}} \cdot r_2^{\frac{2}{3}}) \to Min \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 18:00

owadue

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Also müsste ich dann weiter rechnen um mmk zu ermitteln? oder war es das an der stelle?

01.04.2013, 18:09

Kasen75

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Nein. Bloß nicht weiterrechnen. Das Ergebnis stimmt so. Du hast alles was du brauchst.

Die Antwort wäre dann:

"Die Minimalkostenkombination liegt bei den Faktormengen r1=80 und r2=80 und einer Outputmenge von 160."

Zumindest, wenn explizit nach dem Begriff" Minimalkostenkombination "gefragt ist.

01.04.2013, 18:11

owadue

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ok dachte schon ich bin da nicht so weit....das muss dazu für die klausur reichen, ich werd das nochmal wiederholen später...

wie siehts aus mit der berechnung des tagesverbrauch?

01.04.2013, 18:22

Kasen75

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Was ist denn die Variable d ?

01.04.2013, 18:28

owadue

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ja genau
p1 und p2 sind auch angegeben aber keine ahnung in welchem zusammenhang die da stehen....
___________________

Bei mir steht d (stück/Std)

01.04.2013, 19:00

Kasen75

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Ich habe im Moment leider keine Idee.
Bleibt zu hoffen, dass sich irgendjemand anderes damit auskennt.

01.04.2013, 19:07

owadue

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scheisse....ich find dazu auch kaum was....

bisher haben wir ja immer aufgaben zusammen gemacht von der produktionsfunktion typ A und jetzt eben produktionsfunktion typ B

Man sucht d(opt) ist glaube ich das Min von Kosten

_________________________

v i: Verbrauchsmenge des Faktors i für ein Stück des Produktes [ME]

d: Leistungsgrad, mit dem das Produkt gefertigt wird [Stück/Std.]

Das hab ich gefunden dazu...

_______________________________

Ich hab auch ein Blatt mit Formeln

wie kann man das hochladen
____________________

Zitat:

Wie kann ich Koordinatensystem füllen?

Ich äußere jetzt mal eine Vermutung.

Das einzige was ich mir vorstellen könnte, ist, dass man x=54 setzt.

Dann ergibt sich die Gleichung: $\begin{eqnarray*} 54= 0,75r_1^{0,5} * r_2^{0,5} \end{eqnarray*}$

Diese müsste man nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ (y-Wert) auflösen. Diese dann einzeichnen. Hierbei wäre $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ der x-Wert.

Die Kostenfunktion $\begin{eqnarray*} 720= 1,5r_1 + 10r_2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflösen und einzeichnen.

Um das Einzuzeichnen, kann ich um den x2 wert rauszufinden für x1 die 144 einsetzen?
_______________________

Ein Frage habe ich noch zu diesem Thema

Bisher stand da immer nur gesucht r1, r2 und x

Jetzt hab ich noch ne Aufgabe

a) Gesucht: Maximales Produktionsvolumen sowie r1 und r2 bei einem Kostenbudget von 48 GE und Faktorpreisen p1=4 und p2=1

Gegeben ist
x= r1^0,5 * r2^0,5

k= 4r1 + 1r2 k=48

find ich einfach r1 und r2 raus oder wie?

maximales Produktionsvolumen wäre doch xmax oder? Müsste ich dann nicht einfach nur 1.Ableitung von x, jedoch hab ich ja zwei variablen....

Edit (mY+):
5-fach Post (!!) zusammengefügt.
Bitte unbedingt vom Mehrfachposts abzusehen, dazu hast du die EDIT-Funktion!

01.04.2013, 21:01

Kasen75

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Zitat:

maximales Produktionsvolumen wäre doch xmax oder? Müsste ich dann nicht einfach nur 1.Ableitung von x, jedoch hab ich ja zwei variablen....

Richtig, du musst maximieren.
Weiteres Vorgehen: Lagrangefunktion aufstellen und die 1. partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ bilden. $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$
Müsste dir bekannt vorkommen.

01.04.2013, 21:03

owadue

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Edit (mY+): Quote entfernt.

und dann ganz normal nach r1 und r2 und x? wie bei den 2 aufgaben vorher?

dann mach ich das mal und poste die antwort...

01.04.2013, 21:04

Kasen75

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Alles wie immer. smile

smile

01.04.2013, 21:08

owadue

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Zitat:

Original von Kasen75
Alles wie immer. smile

smile

was wird denn hier draus

0,5r1^(-0,5)

zu was werden die hoch -0,5

01.04.2013, 21:16

Kasen75

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Zitat:

was wird denn hier draus

0,5r1^(-0,5)

zu was werden die hoch -0,5

Lass die -0,5 im Exponenten doch erstmal so stehen. Alles ok.

Da du dich anscheinend gerade bei der ersten Ableitung nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ befindest, darfst du $\begin{eqnarray*} r_2^{0,5} \end{eqnarray*}$ nicht vergessen.

01.04.2013, 21:19

owadue

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Ich habe für r1 = 6 ; r2= 24 und x= 12

aufgabe b) Der PReis p2 erhöht sich auf 4. es findet keine budgetänderung statt.
ermitteln des ausbringungseffektes.

Genau das gleiche nur das die Kostenfunktion jetzt so aussieht

K= 4r1 + 4r2

und dann wieder der gleiche spaß?

und c) Errechnen sie das neue Kostenbudget bei der unter b) beschriebenen preissteigerung, wenn das unter a errechnete produktionsvolumen wieder erreicht werden soll....

was mach ich da? nach k suchen aber wie?

01.04.2013, 21:30

Kasen75

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Zitat:

und dann wieder der gleiche spaß?

Prinzipiell ja. Das ist auf jeden Fall richtig.
Die Frage hast du aber nicht eindeutig wiedergegeben. Die Interpretation des Ergebnisses muss dann nochmal genauer angeschaut werden. Aber erstmal kannst du so rechnen.

zu c) Hier minimierst du die Kosten bei gegebenen Produktionvolumen.
Von der Struktur sieht es so aus (schon vorher mal gepostet):

$\begin{eqnarray*} L=4 \cdot r_1+8 \cdot r_2 +\lambda(\textcolor{red}{160}-2\cdot r_1^{\frac{1}{3}} \cdot r_2^{\frac{2}{3}}) \to Min \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 22:01

owadue

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ok also

Lösung zu b)

r1 = 6
r2= 6
x= 6

was schreibt man dann da als lösung, ist das ergebnis überhaupt richtig?

ich mach jetzt c...

Fang ich da wieder mit der Lagrange an und Leite partiell ab

aber die Lagrange änder ich ab wie in deinem post vorher?

Aber wieso steht dahinter min??

muss ich das anders ableiten oder genauso partiell wie eben=?

01.04.2013, 22:18

Kasen75

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Zitat:

was schreibt man dann da als lösung, ist das ergebnis überhaupt richtig?

Die Lösung ist richtig. Freude

Freude

Die Antwort könnte so lauten:" Da der Preis von Faktor 2 gestiegen ist und der Preis von Faktor 1 gleichgeblieben ist, wird jetzt weniger von Faktor 2 eingesetzt als vorher."

Zitat:

Aber wieso steht dahinter min??

Weil die Kosten minimiert werden, bei gegebenen Output.

Zitat:

muss ich das anders ableiten oder genauso partiell wie eben=?

Genauso partiell ableiten.

Zeig am Besten vorher mal die aufgestellte Lagrange-Funktion.

01.04.2013, 22:44

owadue

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L = 4r1 +4r2 + lambda(12 - r1^0,5 * r2^0,5)

01.04.2013, 22:50

Kasen75

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Perfekt.

smile

01.04.2013, 23:08

owadue

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Weißt du wie ich kritische Werte die ich errechnet habe in ein Koordinatensystem eintrage und die operationslinie einzeichne?

Siehe hier:
Kritische Menge - wie ins Koordinatensystem?

01.04.2013, 23:25

owadue

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$\begin{eqnarray*} L=4 \cdot r_1+4 \cdot r_2 +\lambda({12}- r_1^{\frac{1}{2}} \cdot r_2^{\frac{1}{2}}) \to Min \end{eqnarray*}$ [/quote]

wie mach ich das jetzt in der Lambda Klammer mit den exponenten beim ableiten?

Vor versteh ich nicht den Hintergrund das diese aufstellung der Lagrange Funktion das Minimum darstellt.... ist das immer so wenn danach gefragt ist und ich nach k suche

01.04.2013, 23:38

Kasen75

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Die Kostenfunktion steht ja nicht mehr in der Klammer, sondern ist jetzt die Funktion, die minimiert wird.
Dass die Kostenfunktion minimiert und nicht maximiert wird, wir als gegeben hingenommen.

Zitat:

ist das immer so wenn danach gefragt ist und ich nach k suche

Ja.

Zitat:

wie mach ich das jetzt in der Lambda Klammer mit den exponenten beim ableiten?

Die Klammer fällt ja sowieso bei der Ableitung weg. Du multiplizierst den jeweiligen Exponenten, der beim ableiten entsteht, dann einfach mit Lambda. Beides sind ja dann Faktoren.

01.04.2013, 23:40

owadue

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achso ok, ich versuchs mal poste dann die lösung.....

01.04.2013, 23:58

owadue

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Lösung:

L(r1,r2,L) = 4r1 + 4r2 + lambda(r1^0,5*r2^0,5 - 12)

1.Abl = 4+4r2 + 0,5 lambda = 0

2.Abl = 4r1 + 4 + 0,5 lambda = 0

(4+4r2) / (4r1+4) = 0,5

r2 = 0,5r1

dann würde ich die r2 in Produktionsfunktion einsetzen....

12 = r1^0,5 * 0,5r1^0,5

r1 = 6

r2 = 3

kann das so stimmen oder hab ich was falsch gemacht?

02.04.2013, 00:00

Kasen75

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OK. Vergess aber nicht, dass du morgen eine Klausur schreibst.

02.04.2013, 00:09

Kasen75

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Zitat:

L(r1,r2,L) = 4r1 + 4r2 + lambda(r1^0,5*r2^0,5 - 12)

1.Abl = 4+4r2 + 0,5 lambda = 0

2.Abl = 4r1 + 4 + 0,5 lambda = 0

Du hast hier die Produktionsfunktion vergessen mit zunehmen. Die Produnktionsfunktion leitest du wie auch sonst ab. Nur musst du diese Ableitung dann noch mit Lambda multiplizieren.

Und die $\begin{eqnarray*} 4r_2 \end{eqnarray*}$ fällt weg, da es nur ein Summand ist.

Ableitung nach $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 4 + 0,5 \lambda \cdot r_1^{-0,5}*r_2^{0,5} \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 00:30

owadue

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hm ok das wusste ich nicht, dass das dann einfach weg fällt, komisch nur, dass die klammer jetzt weg fällt.

2.abl = 4+0,5 lambda * r1^(0,5) * r2^(-0,5)

und dann gleich null setzen und was kommt dann auf die andere seite?

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