Stetigkeit, Differenzierbarkeit - Seite 2

29.03.2013, 17:33

Che Netzer

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Kleine Korrekturen:

Zitat:

Original von lgrizu
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^{n-2} \cdot \left( x \cos \left( \frac{1}{x} \right) \right)=0 \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Hier käme man für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 1\cdot0 \end{eqnarray*}$ , was aber natürlich nicht stört.

Zitat:

Wir haben also das Produkt "beschränkt multipliziert mit Grenzwert", und das besitzt wieder einen Grenzwert. Für Folgen ist das auch ein wichtiger Satz aus der Analysis, das Produkt aus einer beschränkten und einer konvergenten Folge ist konvergent.

Dieser wichtige Satz ist leider falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das Produkt einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist wieder eine Nullfolge.

29.03.2013, 17:38

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Stimmt, hab ich im Affekt nen bisschen weit daneben geschossen, ist nat. richtig, beschränkt mal Nullfolge ist wieder Nullfolge.....

Der Fall n=2 sollte aber eigentlich klar sein, hätte ich noch mal an,erken können, aber soo entscheidend ist der nicht.....

29.03.2013, 17:39

RavenOnJ

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex

Aber teils finde ich es unlogisch, ich meine wieso ist denn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ wenn doch alleine der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ nicht existiert. Wieso ist denn die "gleiche" Funktion es ist ja nur ein $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ hinzugekommen.

hier: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ gleich Null ?

Was heißt da "nur ein $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ hinzugekommen"? Genau darauf kommt es doch an, dieses $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ macht den Grenzwert zu 0. Überleg dir den Grenzwert mal, wenn du für x eine bestimmte Nullfolge einsetzt, beispielsweise $\begin{eqnarray*} x_n=\frac 1 {2\pi n},n\in\mathbb N, n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cos(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ existiert, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cos(\frac 1 x) = \lim_{n\to \infty}x_n\cos(\frac 1 {x_n}) \end{eqnarray*}$

Mit dieser Nullfolge wäre das dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}x_n\cos(\frac 1 {x_n}) = \lim_{n\to \infty}\frac 1{2\pi n}\cos(2\pi n) = \lim_{n\to \infty}\frac 1{2\pi n} = 0 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:\cos(2\pi n) = 1 \end{eqnarray*}$ . Du hättest auch jede beliebige andere Nullfolge stattdessen nehmen können.

30.03.2013, 08:57

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Könnte jemand mal mich wieder in die richtige Spur einweisen das war viel auf einmal und ich wusste gestern Abend nicht was ich darauf antworten soll, heute mit Klarem Kopf fällt es mir auch schwer wieder zur Aufgabe zurückzufinden unglücklich

unglücklich

30.03.2013, 20:48

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Ich komme echt aus dem Gewurschtel nicht heraus und weiß nicht wo ich weitermachen soll traurig

traurig

30.03.2013, 21:15

RavenOnJ

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Hast du denn mein voriges Posting gelesen (und verstanden)?

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30.03.2013, 21:53

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von RavenOnJ
Was heißt da "nur ein $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ hinzugekommen"? Genau darauf kommt es doch an, dieses $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ macht den Grenzwert zu 0. Überleg dir den Grenzwert mal, wenn du für x eine bestimmte Nullfolge einsetzt, beispielsweise $\begin{eqnarray*} x_n=\frac 1 {2\pi n},n\in\mathbb N, n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cos(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ existiert, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cos(\frac 1 x) = \lim_{n\to \infty}x_n\cos(\frac 1 {x_n}) \end{eqnarray*}$

Mit dieser Nullfolge wäre das dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}x_n\cos(\frac 1 {x_n}) = \lim_{n\to \infty}\frac 1{2\pi n}\cos(2\pi n) = \lim_{n\to \infty}\frac 1{2\pi n} = 0 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:\cos(2\pi n) = 1 \end{eqnarray*}$ . Du hättest auch jede beliebige andere Nullfolge stattdessen nehmen können.

Mehr oder weniger habe ich es verstanden. Die Message ist soweit ich es verstanden habe, mittels einer Nullfolge den Grenzwert zu berechnen ? Ich verstehe aber nicht wieso man manches einfach so machen bzw. annehmen darf und wie man darauf kommt.

Z.B. Wieso das gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cos(\frac 1 x) = \lim_{n\to \infty}x_n\cos(\frac 1 {x_n}) \end{eqnarray*}$ Wieso einmal gegen Null und einmal gegen unendlich dort steht ? Ich meine das ist doch ein fundamentaler Unterschied, aber es herrscht Gleichheit

30.03.2013, 22:13

RavenOnJ

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Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist nur ein Index für die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n), n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geht natürlich gegen Unendlich während die Folge als Nullfolge gegen Null geht.

Außerdem ist Grundvoraussetzung, dass der Grenzwert existiert. Nur dann geht jede Nullfolge gegen denselben Grenzwert, d.h. es ist egal, welche Nullfolge man wählt. Ein Gegenbeispiel wäre

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\cos(\frac 1 x) \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert existiert nicht.

30.03.2013, 22:25

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Gut. Nun lautet meine Aufgabe ja

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{n} : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ seien definiert durch:

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=\begin{cases}<br /> x^{n} cos\frac{1}{x} , & x\ne 0 \\<br /> 0, & x=0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ stetig, differenzierbar und stetig differenzierbar in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und ab einem gewissen Punkt sind wir von der Aufgabe abgekommen..

30.03.2013, 22:29

RavenOnJ

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Es ging auch darum, warum
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cos(\frac 1 x) =0 \end{eqnarray*}$

gilt, denn das entzog sich deinem Verständnis. Insofern gehört das zum Thema. Du kannst entsprechend bei den Grenzwerten mit höheren Potenzen von x argumentieren.

30.03.2013, 22:39

Alexandra Ardanex

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Genau für x hoch 1,2,3,4...n ist der Grenzwert jeweils Null. Wie muss ich jetzt weitermachen um die Aufgabe zu lösen ?

31.03.2013, 01:16

Namenloser324

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Das Problem ist, dass Alexandra noch nicht so recht verstanden hat, was der Konvergenzbegriff aussagt bzw. wie er zu verwenden ist.
Kern ist, dass man für den Nachweis der Konvergenz in einem Punkt, diesen überhaupt nicht einsetzen muss.
Üb die Konvergenzbeweise mal anhand von simplen Aufgaben.

31.03.2013, 09:24

lgrizu

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Genau für x hoch 1,2,3,4...n ist der Grenzwert jeweils Null. Wie muss ich jetzt weitermachen um die Aufgabe zu lösen ?

Die Frage ist doch, für welche n die Funktion diffbar ist. eine Funktion ist differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert.

Wir haben nun herausgefunden, dass der Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ für n=0 und n=1 nicht existiert. Wir erhalten für

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(\frac{1}{x} \right)}{x}=\pm \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \cos \left(\frac{1}{x} \right)}{x}=\lim_{x \to 0} \cos \left(\frac{1}{x} \right)=-1 \text{ bis } 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot \cos \left(\frac{1}{x} \right)}{x}=\lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left(\frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^n \cdot \cos \left(\frac{1}{x} \right)}{x}=\lim_{x \to 0} x^{n-1} \cdot \cos \left(\frac{1}{x} \right)=\lim_{x \to 0} x^{n-2} \cdot \left( x \cdot \cos \left(\frac{1}{x} \right) \right)=0 \end{eqnarray*}$

Nun einfach nachschauen, für welche n ein Grenzwert existiert und die Frage, für welche n die Funktion diffbar ist kann beantwortet werden.

31.03.2013, 21:38

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von lgrizu
Nun einfach nachschauen, für welche n ein Grenzwert existiert und die Frage, für welche n die Funktion diffbar ist kann beantwortet werden.

Ja für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ existiert der Grenzwert und somit ist die Funktion für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ diffbar ? Also kann ich daraus folgern, dass Stetigkeit gewährleistet ist ?

31.03.2013, 22:17

lgrizu

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Zunächst einmal richtig.

Uch gehe einmal davon aus, dass du nicht benutzen darfst, dass Stetigkeit eine notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist.

Deshalb würde ich vorschlagen, Stetigkeit separat zu prüfen.

Ist aber im Prinzip ganz ähnlich. Eine Funktion ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist.

Also berechnen wir einmal auf der Grundlage der Grenzwerte, die wir bereits haben folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^n \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

Welches n muss man hier seperat betrachten?

Die Grenzwerte kennen wir eigentlich schon, sie müssen noch mit dem Funktionswert verglichen werden.

31.03.2013, 22:24

Alexandra Ardanex

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Für den Fall $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ stimmt es ja mit dem Funktionswert überein also

gilt dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 22:45

lgrizu

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Was ist mit dem Fall n=1?

31.03.2013, 23:04

Alexandra Ardanex

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Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ pendelt es ja zwischen -1 und +1, also haben wir keinen Grenzwert.

01.04.2013, 01:13

lgrizu

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Jetzt bist du immer noch beim Differentialquotinten...

Berechne den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ ....

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