Stetigkeit, Differenzierbarkeit

28.03.2013, 07:31

Alexandra Ardanex

Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Guten Morgen liebe Menschen, ich versuche mich an einer Aufgabe mit bisschen Kopfschmerzen:

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{n} : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ seien definiert durch:

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=\begin{cases} x^{n} cos\frac{1}{x} , & x\ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ stetig, differenzierbar und stetig differenzierbar in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Nun muss ich das doch nicht mit dem Epsilon-Delta zeigen, oder ? Dann gibt's noch die linkseitige/rechtseitige Stetigkeit. Wie erkenne ich das, ich diese zeigen muss ? Man kann aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgern, aber aus Stetigkeit nicht Differenzierbarkeit, richtig ?

Eine Funktion f ist ja genau dann differenzierbar an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \end{eqnarray*}$

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Nun dies würde ich irgendwie versuchen zu checken, ob dieser existiert, jedoch mit der Stetigkeit, fehlt es mir an Wissen.

Ich hoffe jemand kann mir bisschen helfen, dafür wäre ich $\begin{eqnarray*} \infty - dankbar \end{eqnarray*}$

MfG Alex

28.03.2013, 08:12

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Für die Stetigkeit kannst du ebenso Grenzwerte betrachten. Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn für $\begin{eqnarray*} x \to \epsilon \end{eqnarray*}$ der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \epsilon} f(x)=f( \epsilon) \end{eqnarray*}$ ist, vorausgesetzt, er existiert.

28.03.2013, 08:18

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Also zuerst berechne ich aber den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \end{eqnarray*}$ damit ich dann diesen einsetzen kann und berechnen kann, oder?

28.03.2013, 08:25

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
verwirrt

das vertsehe ich nicht, was willst du wo einsetzen?

Man könnte auch, wenn man denn darf und das bereits aus den Vorlesungen bakannt ist nur die Differenzierbarkeit zeigen und dann argumentieren, dass Stetigkeit eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit ist.

Also gut, beginnen wir mit Deiffbarkeit, berechne den Grenzwert des Differenzenquotienten, jap, aber wo willst du den dann einsetzen?

28.03.2013, 08:57

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Vergesse am Besten was ich gesagt, habe ich meinte was anderes Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac {x^n cos 1/x - 0^n} {x - 0} \end{eqnarray*}$

Wir setzen also jetzt den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ =0 ein, nachdem ich oben nach der Formel eingesetzt habe ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac {0^n cos 1/0 - 0^n} {0 - 0} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir doch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac {0} {0} \end{eqnarray*}$ ?

28.03.2013, 09:12

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Tja, nur doof, dass man durch 0 nicht teilen darf., also ist einsetzen für die Grenzwertberechnung meistens falsch.....

Also wir haben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0}\frac {x^n \cos\left( \frac{1}{x} \right) - 0^n} {x - 0}=\lim_{x \to 0}\frac {x^n \cos\left( \frac{1}{x} \right)} {x } \end{eqnarray*}$

Das ist so weit richtig, danach wird es ziemlich falsch, da man, wie gesagt, durch 0 nicht teilen darf....

Man könnte zunächst mal überlegen, für welche n man denn ein x herauskürzen kann und für welche nicht, dann kan man die Fälle betrachten....

28.03.2013, 09:20

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Sorry Hammer

Zitat:

Man könnte zunächst mal überlegen, für welche n man denn ein x herauskürzen kann und für welche nicht, dann kan man die Fälle betrachten....

Für welche n man ein x herauskürzen kann und für welche nicht hm.
Für n=1,2,3,...k könnte man das x kürzen und für n=0 nicht ?

28.03.2013, 15:32

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Genau, was erhält man also für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

28.03.2013, 15:46

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Genau, was erhält man also für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0}\frac {x^n \cos\left( \frac{1}{x} \right) - 0^n} {x - 0}=\lim_{x \to 0}\frac {x^n \cos\left( \frac{1}{x} \right)} {x } \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ erhalten wir dann doch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^{n?} cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ kürzt sich ja das x aus dem Nenner weg, aber dann?

28.03.2013, 15:54

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Ich hoffe du meinst für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n-1} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

So, das kann man sich mal anschauen, wieder für unterschiedliche n.

Welches n kann man jetzt wohl mal am einfachsten betrachten bzw. welches n sollte man separat betrachten?

29.03.2013, 07:44

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Ich hoffe du meinst für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ja mit dem Fragezeichen war $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ gemeint

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n-1} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ bekommen wir $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wiederum $\begin{eqnarray*} x^1=x \end{eqnarray*}$

Und ab $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ wird der Exponent einfach um einen größer, vorher wird er auch um einen größer, aber da passieren ja anderwaltige Sache Big Laugh

Zitat:

Original von lgrizu
Welches n kann man jetzt wohl mal am einfachsten betrachten bzw. welches n sollte man separat betrachten?

Hab sie aufgelistet nur ich weiß nicht was ich damit anfangen soll verwirrt

29.03.2013, 08:11

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Na dann beginnen wir doch einmal, bedenke jedoch, dass jeder Grenzwert von rechts und von links zu betrachten ist:

$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \frac{1}{x} \right)}{x}=??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left(\frac{1}{x} \right)=???? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n-1} \cos \left(\frac{1}{x} \right)=???? \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 08:21

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \frac{1}{x} \right)}{x}=? \end{eqnarray*}$

gute Frage durch 0 darf man nicht teilen also ist es = ?
$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left(\frac{1}{x} \right)=???? \end{eqnarray*}$

genauso hier darf man hier nicht durch Null teilen, was passiert dann denn mit dem Grenzwert wenn man sowas auftrifft

$\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n-1} \cos \left(\frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 08:23

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Was ist denn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=?? \end{eqnarray*}$
betrachte hier die beiden Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{ x \searrow 0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 0} \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 10:15

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Also der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=\infty \end{eqnarray*}$

Und wenn wir den linkseitigen und rechtsseitigen Grenzwert betrachten dann ergibt sich doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{ x \searrow 0}\frac{1}{x}=+\infty \end{eqnarray*}$ (linkseitiger)

und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 0}\frac{1}{x}=-\infty \end{eqnarray*}$ (rechtsseitiger)

29.03.2013, 10:16

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Na also, was ist denn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ?

29.03.2013, 10:24

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Der Grenzwert ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right)=\infty \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 10:27

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Nö, nähert sich denn der Funktionswert des cosinus überhaupt unendlich?

Der Kosinus kann doch nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen, also ist das ziemlich daneben.

Aber mit dieser Information haben wir es ja dann....

29.03.2013, 10:33

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Aber mit dieser Information haben wir es ja dann....

Ou upsi stimmt. Also ist der rechtsseitige Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{ x \searrow 0} cos (\frac{1}{x})=+1 \end{eqnarray*}$

und der linkseitige

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 0}cos (\frac{1}{x})=-1 \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 10:38

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Ach herrje unglücklich

Nein, der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ existiert nicht - weder rechtsseitig noch linksseitig -, der pendelt immer zwischen -1 und 1 hin und her....

So, was bedeutet das für die Differenzierbarkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ (ich habe einmal n=1 eingesetzt)?

29.03.2013, 10:41

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Ach herrje unglücklich

Oki.

Zitat:

Original von lgrizu
So, was bedeutet das für die Differenzierbarkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ (ich habe einmal n=1 eingesetzt)?

Ja das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist. (Für n=1 eingesetzt)

29.03.2013, 10:43

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
genau.

Nun haben wir noch den Fall n=0 zu prüfen...

Welchen Grenzwert des Differentialquotinenten erhalten wir da?

29.03.2013, 10:51

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Für $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} f(x)= \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

D.h. im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion auch nicht differenzierbar.

29.03.2013, 10:55

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Genau, die Begründung hatten wir oben schon.

So, moch mal zusammenfassen, für welche n die funktion denn nun bei x=0 differenzierbar ist.

29.03.2013, 11:09

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Für $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} f(x)= \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

D.h. im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion auch nicht differenzierbar.

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ (n=1 eingesetzt)
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist.

Ich habe jetzt bisschen den Faden verloren. Für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Funktion bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist da bleibt ja nur $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ übrig ?

29.03.2013, 11:14

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Ja, das bleibt erst mal übrig.

Also fassen wir noch mal zusammen:

Aufgabenstellung:

Zitat:

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{n} : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ seien definiert durch:

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=\begin{cases} x^{n} cos\frac{1}{x} , & x\ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ stetig, differenzierbar und stetig differenzierbar in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wir haben:

für n=0 nicht differenzierbar

für n=1 nicht differenzierbar

und nun ist n>1 zu prüfen, was hast du da für einen Vorschlag?

29.03.2013, 12:20

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Also betrachten wir jetzt $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ (n=2 eingesetzt)
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist. Wobei ableiten kann man dies doch schon mit Produktregel mh, aber im Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ doch nicht.

29.03.2013, 13:02

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Warum ist sie denn nicht differenzierbar?

Das Argument, dass man die Funktion ableiten kann ist zeimlich daneben, denn man kann auch $\begin{eqnarray*} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ mit der Produkt- und der Kettenregel ableiten, dennoch existiert die Ableitung nicht an der Stelle x=0.

Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft, keine globale.

Also:

zu bestimmen ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n-1} \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ , mach das mal für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ .

29.03.2013, 13:11

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Zu bestimmen ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n-1} \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=\infty \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=\infty \end{eqnarray*}$

Kann man sagen für (n+1)! ist der Grenzwert immer unendlich ?

29.03.2013, 13:13

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Ach herrje, wie kommst du denn darauf, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)= \infty \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

29.03.2013, 13:24

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Ach herrje, wie kommst du denn darauf, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)= \infty \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Hmm $\begin{eqnarray*} "0 \cdot \infty"="\infty" \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird ja $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ also wird das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{1}{0} \right) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 13:31

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Was auch immer du damit sagen willst....

Wieso soll denn $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty= \infty \end{eqnarray*}$ sein?

Zum einen ist unendlich keine Zahl, mit der man einfach so rechnen könnte, zum zweite ist das völlig falsch, denn dann müsste ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot x^2= \infty \end{eqnarray*}$ sein, das ist aber nicht so, es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot x^2= 0 \end{eqnarray*}$ .

Zum dritten ist in dem Term $\begin{eqnarray*} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ kein Faktor vorhanden, der irgendwie gegen unendlich strebt, und erst recht nicht $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ . Und das hatten wir auch schon mal, pass doch bitte ein bisschen auf, nähert sich der Funktionswert des Kosinus irgendwann mal unendlich????
Also noch mal von vorne....

29.03.2013, 13:45

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Was auch immer du damit sagen willst....

Wieso soll denn $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty= \infty \end{eqnarray*}$ sein?

Zum einen ist unendlich keine Zahl, mit der man einfach so rechnen könnte, zum zweite ist das völlig falsch, denn dann müsste ja ....

Daher auch die "..."

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot x^2= 0 \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht..

Was ist denn dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ?

bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ?

29.03.2013, 13:51

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Okay, kleine Exkursion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot x^2=\lim_{x \to 0} x=0 \end{eqnarray*}$

Einfache Kürzungsregel.....

Exkursion beendet.

Nun zu der Aufgabe zurück:

Was ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ??

Edit: und vergiss dieses Rechnen mit unendlich, auch nicht in Anführungszeichen, man könnte genau so gut sagen, dass unendlich multipliziert mit 0 gleich 0 ergäbe, da jedes Produkt mit 0 verschwindet, also lieber sein lassen.....

29.03.2013, 14:07

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert existiert nicht.

29.03.2013, 14:13

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Genau, woher hast du also deine Aussage

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{1}{0} \right) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

???

Es ist aber anzumerken, dass der Kosinus ausschließlich Werte zwischen -1 und 1 annimmt, also beschränkt ist und Häufungspunkte besitzt.

Und jetzt das entscheidende:

Wie lautet der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Im übrigen ist das auch der richtig wichtige Grenzwert, wenn man den berechnet hat kann man daraus auf alle größeren n schließen, Stichwort dazu Potenzgesetze und Grenzwertsätze.

29.03.2013, 15:00

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Genau, woher hast du also deine Aussage

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{1}{0} \right) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

???

Es ist aber anzumerken, dass der Kosinus ausschließlich Werte zwischen -1 und 1 annimmt, also beschränkt ist und Häufungspunkte besitzt.

Woher ich die Aussage nehme ja:"Es ist aber anzumerken, dass der Kosinus ausschließlich Werte zwischen -1 und 1 annimmt, also beschränkt ist und Häufungspunkte besitzt"

Zitat:

Original von lgrizu
Und jetzt das entscheidende:

Wie lautet der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Im übrigen ist das auch der richtig wichtige Grenzwert, wenn man den berechnet hat kann man daraus auf alle größeren n schließen, Stichwort dazu Potenzgesetze und Grenzwertsätze.

Naja ich argumentiere mal so, wenn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ nicht existiert siehe Zitat Begründung, dann dann existiert er bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ wohl auch nicht.

29.03.2013, 15:08

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Nein, das ist auch voll daneben und die Argumentation entbehrt jeder logischen Begründung.

Und langsam wird es auch Mühsam, so dass ich nicht mehr weiß, wie ich dir das näher bringen soll.

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x=0 \end{eqnarray*}$ und der Kosinus ist beschränkt, also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun überlege, mit richtiger Begründung, wie du nun auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^{n-1} \cdot \cos \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ schließen kannst für beliebige n>1.

29.03.2013, 15:22

Alexandra Ardanex

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von lgrizu
Nein, das ist auch voll daneben und die Argumentation entbehrt jeder logischen Begründung.

Und langsam wird es auch Mühsam, so dass ich nicht mehr weiß, wie ich dir das näher bringen soll.

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x=0 \end{eqnarray*}$ und der Kosinus ist beschränkt, also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Alles daneben ohje. Ja mein Wissen ist nicht all zu hoch wie du gemerkt hast in diesem Gebiet. Aber teils finde ich es unlogisch, ich meine wieso ist denn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ wenn doch alleine der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ nicht existiert. Wieso ist denn die "gleiche" Funktion es ist ja nur ein $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ hinzugekommen.

hier: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ gleich Null ? Berechnest du etwa seperat die Grenzwerte also $\begin{eqnarray*} x & \cos \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von lgrizu
Nun überlege, mit richtiger Begründung, wie du nun auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^{n-1} \cdot \cos \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ schließen kannst für beliebige n>1.

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$

(etwas lax formuliert)

der Zweite Teil ist ja bekannt.

29.03.2013, 17:15

lgrizu

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RE: Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Okay, erst mal zur Lösung, es ist richtig, für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x^{n-1} \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das ganze kann man sich auch so klar machen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\lim_{x \to 0}x \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=0}_{\text{Diesen Grenzwert haben wir bereits bestimmt}} \Rightarrow \lim_{x \to 0}x^{n-1} \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right)=\lim_{x \to 0}x^{n-2} \cdot \left( x \cos \left( \frac{1}{x} \right) \right)=0 \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Nun zum allgemeinen, wichtig ist dabei, dass der Kosinus beschränkt ist, ansonsten könnte es Probleme geben bei der Grenzwertberechnung. Ferner ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}x=0 \end{eqnarray*}$ , das sollte klar sein. Wir haben also das Produkt "beschränkt multipliziert mit Grenzwert", und das besitzt wieder einen Grenzwert. Für Folgen ist das auch ein wichtiger Satz aus der Analysis, das Produkt aus einer beschränkten und einer konvergenten Folge ist konvergent.

Intuitiv kann man sich das klar machen, da der Kosinus für x gegen unendlich einen bestimmten Wert nicht überschreitet bzw. unterschreitet, das sind 1 und -1. multiplizieren wir irgendeinen Wert zwischen 1 und -1 mit der 0 so erhalten wir wieder die 0. aber: Nicht anwenden auf irgendein Produkt von zwei Funktionen, von der eine gegen unendlcih strebt, wichtig ist hierbei stets die Beschrä#nktheit und die Existenz des Grenzwertes. Beweise dazu findest du in jedem Analysis Buch.

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Stetigkeit, Differenzierbarkeit

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