Konvergenzradius - Seite 2

29.03.2013, 11:02

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Du machst es einem wirklich schwer. Auch diese Formel ist falsch. Für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ würde sie

$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

lauten. Immer noch ein Widerspruch zum richtigen Ergebnis oben.

Ich würde es dir gerne einfach machen, ich bemühe mich wirklich... Am liebsten würde ich die gar nicht auf die Nerven gehen, aber da kann ich nichts für... Bitte Vorwürfe an den Schöpfer oder meine Eltern.

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt noch eine kleine Korrektur, aber dann sollte es stimmen.

Und die Korrektur wäre ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

29.03.2013, 11:04

Leopold

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Ja.

29.03.2013, 11:59

Konvergenzniete

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So.
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n! (n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)}=\frac{(n+1)^{n}(n+1)}{n^n (n+1)}=\frac{(n+1)^{n}}{n^n} \end{eqnarray*}$

Soweit komme.

29.03.2013, 12:07

Leopold

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Und der Rest steht da:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^n}=(\frac{(n+1)}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

und da:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

und da:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 12:39

Konvergenzniete

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Aufgabenstellung war: Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} a) \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Die Formel für Potenzreihen $\begin{eqnarray*} \sum_{n} a_n z^n \end{eqnarray*}$ , sofern nicht unendlich viele der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ Null sind. Bei unserer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$ liest man ab:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Dann versuche ich alles zusammenzufassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n! (n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)}=\frac{(n+1)^{n}(n+1)}{n^n (n+1)}=\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=(\frac{(n+1)}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt aber nicht ganz was das Endergebnis ist. Es sollte ja

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

sein. Und das ist jetzt der Konvergenzradius ? Ich hätte mir darunter eher eine Zahl vorgestellt und außerdem habe bisschen Probleme bei der Notation, wie es sinvoll aufgeschrieben wird, weil du in einem vorherigen Post mal meintest den Limes lassen wir mal weg, daher habe ich bestimmt auch in der Zusammenfassung geschludert.

29.03.2013, 13:58

Leopold

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Zitat:

Original von Konvergenzniete
Und das ist jetzt der Konvergenzradius ? Ich hätte mir darunter eher eine Zahl vorgestellt und außerdem habe bisschen Probleme bei der Notation, wie es sinvoll aufgeschrieben wird, weil du in einem vorherigen Post mal meintest den Limes lassen wir mal weg, daher habe ich bestimmt auch in der Zusammenfassung geschludert.

Weil du mit dem Limes eine neue Zeile begonnen hast, ist alles richtig aufgeschrieben. Nur die Schlußfolgerung, die fehlt noch. Du hast sie nur als Frage gestellt. Denn richtig:

$\begin{eqnarray*} r = \operatorname{e} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ ist doch eine Zahl (siehe den Wikipedia-Artikel). Du kannst dich dieser Zahl annähern, wenn du in

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

große Zahlen einsetzt (z.B. $\begin{eqnarray*} n=10,100,1000,10000 \end{eqnarray*}$ usw.). Denn von dieser Folge ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ doch gerade der Grenzwert. Höchstens könnte es passieren, daß du falsche Ergebnisse bekommst, wenn du zu große Zahlen einsetzt (Rundungsproblematik beim Taschenrechner).

Jetzt hast du zwar den Konvergenzradius der Reihe bestimmt, ich bin mir aber ziemlich sicher, daß du nicht weißt, was das bedeutet. Du solltest dich daher jetzt erst einmal mit den Grundbegriffen der Reihenlehre beschäftigen: Konvergenz, Divergenz, Potenzreihe, Konvergenzradius einer Potenzreihe. Durchforste deine Unterlagen oder das Internet.

Ich für mich beende hier.

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29.03.2013, 15:03

Konvergenzniete

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Okay schade unglücklich

unglücklich

. Ich bedanke mich recht herzlich, für deine Geduld und dein Wissen. Vielleicht mag jemand mir bei der b) behilflich sein ?

29.03.2013, 15:13

Che Netzer

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Bevor du mit der b) anfängst, solltest du nacharbeiten, woher die Formel für den Konvergenzradius kommt und warum $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac1{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn du dann die Lösung zu diesem Aufgabenteil verstanden hast, kannst du zur b) ja einen neuen Thread eröffnen.

29.03.2013, 15:27

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von Che Netzer
Bevor du mit der b) anfängst, solltest du nacharbeiten, woher die Formel für den Konvergenzradius kommt und warum $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac1{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn du dann die Lösung zu diesem Aufgabenteil verstanden hast, kannst du zur b) ja einen neuen Thread eröffnen.

Warum $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac1{n+1} \end{eqnarray*}$ ist, habe ich mir ja mühevoll erarbeitet, woher die Formel kommt, dabei bin ich gerade am Tüffteln und wieso ich jetzt einen neuen Thread aufmachen soll, verstehe ich jetzt gerade nicht wirklich, aber kann ich machen Freude

Freude

29.03.2013, 15:34

Che Netzer

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Zitat:

Original von Konvergenzniete
Warum $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac1{n+1} \end{eqnarray*}$ ist, habe ich mir ja mühevoll erarbeitet

Es sah eher so aus, als hättest du es nur erraten, nicht erarbeitet.

Und wenn du hier noch ein Aufgabe bearbeitest, könnte es unübersichtlich werden.
Außerdem scheint Leopold keine Geduld mehr zu haben.

29.03.2013, 15:48

Konvergenzniete

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Ok, verstehe.

Off topic start: Quelle: Wikipedia: Quotientenkriterium

Wir betrachten die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{5 + n}{10^n} \end{eqnarray*}$

und prüfen diese auf Konvergenz. Über das Quotientenkriterium erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{5 + (n+1)}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{5+n} = \frac{1}{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

Folglich ist die Reihe konvergent. Wie kommt man da auf den Schluss = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

Off topic end.

Jetzt ist beim Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ und beim Konvergenzradius ist es genau

andersrum $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$

Daher weiß ich nicht wie man zu der Formel vom Konvergenzradius letztendlich kommt.

29.03.2013, 18:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Konvergenzniete
Wie kommt man da auf den Schluss = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

Weil $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:\frac{6+n}{5+n} \leq \frac 6 5 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Jetzt ist beim Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ und beim Konvergenzradius ist es genau

andersrum $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$

Daher weiß ich nicht wie man zu der Formel vom Konvergenzradius letztendlich kommt.

Du wirfst da was durcheinander. Beim Quotientenkriterium geht es um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$

Beim Konvergenzradius aber um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n z^n \end{eqnarray*}$

Damit letztere konvergiert, muss sie beispielsweise nach dem Quotientenkriterium konvergieren, womit dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\Big\lvert \frac {a_{n+1}z^{n+1}}{a_n z^n}\Big\rvert = \lim_{n\to\infty}\Big\lvert z\frac {a_{n+1}}{a_n}\Big\rvert =\lvert z\rvert\cdot\lim_{n\to\infty} \Big\lvert \frac {a_{n+1}}{a_n}\Big\rvert < 1\Rightarrow \lvert z\rvert < R_z = \lim_{n\to\infty}\Big\lvert \frac {a_{n}}{a_{n+1}}\Big\rvert \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 08:26

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
[quote]Original von Konvergenzniete
Wie kommt man da auf den Schluss = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von RavenOnJ
Weil $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:\frac{6+n}{5+n} \leq \frac 6 5 \end{eqnarray*}$

Ok das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ fällt weg. Wie kommst du jetzt aber auf die $\begin{eqnarray*} \leq \frac 6 5 \end{eqnarray*}$
Und der Rest ist mir auch nicht klar sprich:

$\begin{eqnarray*} ...\leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 13:05

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Konvergenzniete

Zitat:

Original von RavenOnJ
Weil $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb N:\frac{6+n}{5+n} \leq \frac 6 5 \end{eqnarray*}$

Ok das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ fällt weg. Wie kommst du jetzt aber auf die $\begin{eqnarray*} \leq \frac 6 5 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ fällt nicht weg! Wie kann man Brüche behandeln, die auf verschiedenen Seiten einer (Un-)Gleichung stehen? Wie behandelt man Summen von Brüchen? "Auf Hauptnenner bringen" nennt man das glaube ich ... Ich würde sagen, das ist Stoff der 6./7. Klasse. Nimm die obige Ungleichung und bringe sie auf einen Hauptnenner. [Es ist unglaublich, was man manchen Studenten vorkauen muss.]

Zitat:

Und der Rest ist mir auch nicht klar sprich:

$\begin{eqnarray*} ...\leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dir nicht klar, weil du einfach so die 1/10 unter den Tisch fallen lassen wolltest oder weil dir nicht klar ist, wie man Brüche multipliziert.

30.03.2013, 13:27

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ fällt nicht weg! Wie kann man Brüche behandeln, die auf verschiedenen Seiten einer (Un-)Gleichung stehen? Wie behandelt man Summen von Brüchen? "Auf Hauptnenner bringen" nennt man das glaube ich ... Ich würde sagen, das ist Stoff der 6./7. Klasse. Nimm die obige Ungleichung und bringe sie auf einen Hauptnenner. [Es ist unglaublich, was man manchen Studenten vorkauen muss.]

Zitat:

Und der Rest ist mir auch nicht klar sprich:

$\begin{eqnarray*} ...\leq \frac{3}{25} < 1 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dir nicht klar, weil du einfach so die 1/10 unter den Tisch fallen lassen wolltest oder weil dir nicht klar ist, wie man Brüche multipliziert.

Vielleicht hast du recht, vielleicht sollte man sich aber auch erst Fragen, ob man erstens die Person kennt, zweitens weiß was die Person durchlebt bzw. wie es ihr ergeht...

30.03.2013, 13:50

RavenOnJ

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Das tut hier aber nichts zur Sache. Du wolltest Hilfe bei einer mathematischen Frage.

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