Konvergenzradius

28.03.2013, 10:52

Konvergenzniete

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Konvergenzradius

Meine Frage:
Hallo allesamt. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} a) \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^nz^n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich mache solche Aufgaben mehr oder weniger das erste Mal und bin recht hilflos und ansatzlos. Ich weiß nicht genau was das Ziel bzw. wo der Weg ist den ich gehen muss um zum Ziel zu kommen.

Ich weiß von Wikipedia aus:

Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. \end{eqnarray*}$

Der Konvergenzradius ist als das Supremum aller Zahlen $\begin{eqnarray*} \rho \geq 0 definiert \end{eqnarray*}$ , für welche die Potenzreihe für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|< \rho \end{eqnarray*}$ konvergiert:

$\begin{eqnarray*} r:=\sup \left\{ |x-x_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}\ \text{ist konvergent}\right.\right\} \end{eqnarray*}$

Die Folgerungen aus dem Konvergenzradius sind ja:
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<r, \end{eqnarray*}$ so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|>r, \end{eqnarray*}$ so ist die Potenzreihe divergent.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|=r, \end{eqnarray*}$ so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Situationen hilft aber der Abelsche Grenzwertsatz.

Wie ich das jetzt aber angehen soll weiß ich nach wie vor nicht wirklich. Ich nehme jegliche Hilfe kniend mit offenen Armen entgegeen. Danke.

28.03.2013, 11:11

tyger

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Hallo,
wenn ich mich richtig erinnere,ist es möglich den Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard zu berechnen.

28.03.2013, 11:15

Leopold

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Ich nehme jegliche Hilfe kniend mit offenen Armen entgegeen. Danke.

Solche Devotion brauchst du nicht auf dich zu nehmen. Mir reicht es, wenn du einen entsprechenden Geldbetrag überweist:

Kontoinhaber: Leopold vom MatheBoard
Kontonummer: 31415926
Bank: Entenhauser Hypothekenbank
BLZ: 271 828 18

Fangen wir einmal mit a) an. Sagt dir das Quotientenkriterium etwas? Wenn ja, dann wende es auf

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$

an. Und sollte die Summation in a) nicht mit $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ beginnen?

28.03.2013, 11:26

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von tyger
ist es möglich den Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard zu berechnen.

Danke, ich habe aber generell wenig Ahnung wie man es macht ich guck mir mal aber deinen Vorschlag an.

Also:

Der Konvergenzradius lässt sich also mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. \end{eqnarray*}$
Dabei gilt $\begin{eqnarray*} r = 0 \end{eqnarray*}$ , falls der Limes superior im Nenner gleich $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} r = +\infty \end{eqnarray*}$ , falls er gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn ab einem bestimmten Index alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Aber wie fange ich am Besten an verwirrt

verwirrt

28.03.2013, 11:30

Leopold

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Zitat:

Original von Konvergenzniete
Aber wie fange ich am Besten an verwirrt

verwirrt

Natürlich damit:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Im Unterschied zu meinem ersten Beitrag ist hier $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 11:34

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Leopold
Und sollte die Summation in a) nicht mit $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ beginnen?

Oh ja ich korrigiere mich. Zu bestimmen ist der Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen

$\begin{eqnarray*} a) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^nz^n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Leopold
Fangen wir einmal mit a) an. Sagt dir das Quotientenkriterium etwas?

Quotientenkriterium sagt mir nix unglücklich

unglücklich

. Muss es mir dann mal angucken.

Zitat:

Original von Leopold
Kontoinhaber: Leopold vom MatheBoard
Kontonummer: 31415926
Bank: Entenhauser Hypothekenbank
BLZ: 271 828 18

Ich würde sogar wirklich aus Dankbarkeit etwas überweisen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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28.03.2013, 12:48

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} = \frac{n! \cdot (n+1)^n}{n^n \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Das kann man noch weiter vereinfachen.

28.03.2013, 13:10

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} = \frac{n! \cdot (n+1)^n}{n^n \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Das kann man noch weiter vereinfachen.

Ja das kann man noch weiter vereinfachen, ich frage mich nur gerade wie man darauf kommt

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} = \frac{n! \cdot (n+1)^n}{n^n \cdot n!}=\frac{(n+1)^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

Und was fange ich jetzt damit an ?

28.03.2013, 13:12

Leopold

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Jetzt laß dir nicht jeden Rechenschritt vorsingen. Sing selber! Vielleicht erst einmal die Kantate der Potenzgesetze.

28.03.2013, 13:21

Konvergenzniete

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Ja sorry ich seh nicht immer alles auf anhieb unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^n}=(\frac{(n+1)}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber wirklich nicht weiter verwirrt

verwirrt

28.03.2013, 13:28

Leopold

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Jetzt mußt du deine Unterlagen durchwühlen. Ich bin mir zu 99,8 % sicher, daß dort genau dieser Folgenterm irgendwo steht. Das ist Grundwissen für jede Mathematik an der Hochschule.

28.03.2013, 13:41

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von Leopold
Das ist Grundwissen für jede Mathematik an der Hochschule.

Mag ja sein.. Nur ist es bei mir nicht vorhanden unglücklich

unglücklich

Ist es auch üblich, dass die Vorlesung=Skriptabschreiben ist ? Für solche Fälle braucht man auch keine Vorlesung. Von wo soll man sich das Wissen aneignen ? Einige Überflieger, die alles verstehen, aber nicht erklären können. Andere die gar nichts machen und der Rest, der stundelang vor den Sachen sitzt und sich vor Verzweiflung dem Suizid nähert... In meine mSkript sind zahlreiche Beweise zu Potenzreihen, wann diese konvergieren, aber was hilfreiches habe ich nicht entdeckt.

28.03.2013, 13:41

klarsoweit

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Offtopic: das sind die Momente, wo ich mich frage, lernen die Studenten in den Vorlesungen noch was oder war Facebook oder SMS verschicken wichtiger?

Schau mal, ob dir irgendwo die Zahl e begegnet ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2013, 13:51

Leopold

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Zitat:

Original von Konvergenzniete
und der Rest, der stundelang vor den Sachen sitzt und sich vor Verzweiflung dem Suizid nähert...

Seit wann bringen sich denn Mathematiker selber um?
Ja - früher, da hatte das noch Stil!

28.03.2013, 13:51

Konvergenzniete

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Ich mein ich kann jetzt die 8 oder 9 Seiten abfotografieren und online stellen. Aber wenn da doch nichts ist ? E-Funktion, die kann man als Potenzreihe darstellen sowohl reell, als auch komplex, aber ich weiß es nicht unglücklich

unglücklich

(Und macht mich doch nicht nieder, das finde ich nicht schön, wenn ich's wüsste, dann hätte ich es doch geschrieben)

28.03.2013, 13:54

Leopold

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Wenn es in den Unterlagen nicht steht, dann gibt es immer noch Wikipedia.

28.03.2013, 14:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Konvergenzniete
Und macht mich doch nicht nieder, das finde ich nicht schön, wenn ich's wüsste, dann hätte ich es doch geschrieben

OK, entschuldige vielmals. Offensichtlich hattet ihr das Thema "Folgen" noch nicht. geschockt

geschockt

28.03.2013, 14:03

Konvergenzniete

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Wikipedia - Konvergenzradius

Ich kann den Link nicht posten.

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^n}=(\frac{(n+1)}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Und wo steht dieser Zusammenhang da ?

28.03.2013, 14:11

Leopold

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Langsam treibst du aber mich in den Suizid ...
Hast du den Wikipedia-Beitrag auch nur ansatzweise "überflogen"?

28.03.2013, 14:15

Konvergenzniete

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schau mal, ob dir irgendwo die Zahl e begegnet ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wo taucht bitte denn einmal auch nur EINMAL die e-Funktion in dem Artikel auf ? unglücklich

unglücklich

28.03.2013, 14:16

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn es in den Unterlagen nicht steht, dann gibt es immer noch Wikipedia.

28.03.2013, 14:24

Konvergenzniete

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Wenn man von zwei anderen Wikipediaartikeln spricht dann kann es wahrlich nichts werden LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

In meinem Buch steht dies wirklich nicht drinne. Auch im Wikipediaartikel-Konvergenzradius steht es auch nicht drinne. Im Wikipediaartikel-eFunktion ja...

So einmal tief durchatmen puuu ^^

Soweit so gut. Wie mache ich mir denn das zu Nutze ?

28.03.2013, 14:28

Leopold

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Du bist fertig.

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Jetzt zu b). Dort solltest du aber erst deine Angaben korrigieren. Ich glaube kaum, daß sich das Wurzelzeichen so weit erstreckt, wie von dir angegeben.

28.03.2013, 14:46

Konvergenzniete

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius
$\begin{eqnarray*} a) \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} = \frac{n! \cdot (n+1)^n}{n^n \cdot n!}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=(\frac{(n+1)}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Was ich nicht verstehe ist der Schritt von

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} z^n \rightarrow \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ ist die Aufgabenstellung nochmals korrigiert und korrekt lautet sie:

$\begin{eqnarray*} b) \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^n}z^n \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 14:48

Konvergenzniete

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Bzw. der Schritt von

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \rightarrow \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} ... \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 14:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob wir hier nicht eher $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ betrachten sollten, da wir es mit eienr Potenzreihe zu tun haben.

Wenn ja, brauchst du dieses a_n nur in $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$ einsetzen.

@Leopold: bin dann wieder raus.

28.03.2013, 14:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius
Du warst ja auf meinen Vorschlag mit dem Quotientenkriterium nicht eingegangen und hattest stattdessen eine Formel für den Konvergenzradius gebracht.

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Aber wie fange ich am Besten an verwirrt

verwirrt

Natürlich damit:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Im Unterschied zu meinem ersten Beitrag ist hier $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Diese Formel benötigt nur noch die Koeffizienten der Potenzreihe, nicht mehr die Potenz der Variablen.

Und warum bringst du deine Rechnung nicht zu Ende? Wo ist der Übergang zum Limes?

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} = \frac{n! \cdot (n+1)^n}{n^n \cdot n!}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=(\frac{(n+1)}{n})^n=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

28.03.2013, 15:04

Che Netzer

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@Konvergenzniete:
Ist dir inzwischen eigentlich klar, wieso du den Konvergenzradius als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$ berechnen kannst?
Das scheint mir mehr so, als hättest du einfach nur von Wikipedia abgeschrieben...

Und:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Ist es auch üblich, dass die Vorlesung=Skriptabschreiben ist ?

Ja, wenn es ein Skript gibt, wird das gerne abgeschrieben. In einer Vorlesung kann es aber immer mal sein, dass zusätzliche Bemerkungen fallen oder interessante Fragen gestellt und beantwortet werden.
Außerdem hat man anscheinend weniger Überblick über die verfügbaren Kriterien und Grenzwerte, wenn man nicht aufpasst.

Zitat:

wenn ich's wüsste, dann hätte ich es doch geschrieben

Es hat auch niemand verlangt, dass du weißt, was du jetzt anwenden musst, aber wenn du in den Unterlagen sorgfältig gesucht hättest, hättest du die passende Gleichung eigentlich finden sollen.

Ach ja, wenn ich schonmal beim Meckern bin: Vor Fragezeichen gehört keine Leerstelle Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und damit bin ich schon wieder weg Wink

Wink

28.03.2013, 15:20

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Was ich nicht verstehe ist der Schritt von

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} z^n \rightarrow \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Sowohl dies

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Bzw. der Schritt von

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \rightarrow \frac{n! \cdot (n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1)!} ... \end{eqnarray*}$

als auch dies fällt mir vom Himmel

Zitat:

Original von Che Netzer
@Konvergenzniete:
Ist dir inzwischen eigentlich klar, wieso du den Konvergenzradius als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$ berechnen kannst?
Das scheint mir mehr so, als hättest du einfach nur von Wikipedia abgeschrieben...

Wieso ich den Konvergenzradius berechnen kann, darauf habe ich leider keine Antwort

Jetzt bin ich total confused Erstaunt2

Erstaunt2

Irgendwie sind mir die Übergänge nicht klar. Die einzelnen Rechenschritte ja, aber als ganzes verstehe ich es nicht.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob wir hier nicht eher $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ betrachten sollten, da wir es mit eienr Potenzreihe zu tun haben.

Wenn ja, brauchst du dieses a_n nur in $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$ einsetzen

Da weiß ich nicht was gemeint ist.

28.03.2013, 15:36

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Um nicht ganz von vorne anfangen zu müssen, akzeptieren wir einfach einmal die folgende Formel für den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . (Später solltest du dich aber damit beschäftigen, woher diese Formel letztlich kommt, nämlich vom Quotientenkriterium.)

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Die Formel gilt für Potenzreihen $\begin{eqnarray*} \sum_{n} a_n z^n \end{eqnarray*}$ , sofern nicht unendlich viele der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ Null sind. Bei unserer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} z^n \end{eqnarray*}$ liest man ab:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner sind für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ immer positiv, insbesondere ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ immer positiv, speziell nie $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , womit die Formel anwendbar ist. Und wegen der Positivität kann man bei der vorliegenden Reihe auch die Betragsstriche weglassen.

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

Das Limeszeichen lassen wir erst einmal weg und vereinfachen den Term. Am Ende müssen wir aber daran denken, noch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ durchzuführen. Und die Rechnung geht wie gehabt.

29.03.2013, 07:59

Konvergenzniete

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner sind für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ immer positiv, insbesondere ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ immer positiv, speziell nie $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , womit die Formel anwendbar ist. Und wegen der Positivität kann man bei der vorliegenden Reihe auch die Betragsstriche weglassen.

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

Das Limeszeichen lassen wir erst einmal weg und vereinfachen den Term. Am Ende müssen wir aber daran denken, noch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ durchzuführen. Und die Rechnung geht wie gehabt.

Okay wir setzen unser $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ in die Formel ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n! (n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Und nun sind mir die Rechenregeln mit Fakultäten nicht geläufig, deswegen weiß ich nicht wie man es vereinfachen kann.

PS: Entschuldige mich für gestern, ich musste zur Arbeit eilen und hab's nicht mehr geschafft es Euch mitzuteilen.

29.03.2013, 08:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist etwas ärgerlich, daß du erst jetzt damit kommst. Du hättest doch gleich sagen können: Die Umformungen mit der Fakultät verstehe ich nicht.

Dabei ist da gar nichts Großes dahinter. Du mußt nur wissen, was Fakultät bedeutet. Schreib einmal die Definition von $\begin{eqnarray*} 6! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5! \end{eqnarray*}$ auf, ohne die Werte auszurechnen. Dann bilde $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!} \end{eqnarray*}$ . Was muß sich zwangsläufig ergeben? Und mit $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ist das nichts anderes.

Und sag ja nicht, die Definition der Fakultät fändest du nirgendwo ...

29.03.2013, 08:39

Konvergenzniete

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Es ist etwas ärgerlich, daß du erst jetzt damit kommst. Du hättest doch gleich sagen können: Die Umformungen mit der Fakultät verstehe ich nicht.

Dabei ist da gar nichts Großes dahinter. Du mußt nur wissen, was Fakultät bedeutet. Schreib einmal die Definition von $\begin{eqnarray*} 6! \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5! \end{eqnarray*}$ auf, ohne die Werte auszurechnen. Dann bilde $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!} \end{eqnarray*}$ . Was muß sich zwangsläufig ergeben? Und mit $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ist das nichts anderes.

Und sag ja nicht, die Definition der Fakultät fändest du nirgendwo ...

Fakultät ist mir geläufig und ich weiß nur nicht wie man es umschreibt.. Bzw in dem Fall kürzt

$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6}[ \end{eqnarray*}$ das ist mir klar.

29.03.2013, 08:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Und $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

29.03.2013, 09:27

Konvergenzniete

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Und $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

Öhm n! Ist klar das (n+1)! Macht mich zu schaffen. Im Endeffekt wird ja zu dem n eine +1 addiert und davon die Fakultät gebildet. D.h. Mit jedem n wächst die Fakultät um eins.Nur wie Schreibe ich das (n+1)! um. Ich weiß nicht wie ich die +1 herausziehen soll, das darf man sicherlich gar nicht.

29.03.2013, 09:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch einfach einmal in den so kompliziert aussehenden Term $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ ein (später dann $\begin{eqnarray*} n=6,7,\ldots \end{eqnarray*}$ ) und vereinfache im konkreten Beispiel.

29.03.2013, 10:23

Konvergenzniete

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das müsste dann
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

ergeben.

D.h. man kann

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n! (n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n n!} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Ich kann auch noch:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n n!}=\frac{(n+1)^{n}(n+1)^{1}}{n^n n!} \end{eqnarray*}$

Aber das bringt ja nicht viel.

29.03.2013, 10:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Okay das müsste dann
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

ergeben.

Das ist falsch, wie schon das Beispiel $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ zeigt. Hättest du recht, dann stünde da oben:

$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!}=\frac{1}{5!} \end{eqnarray*}$

Das ist ein fundamentaler Widerspruch zu dem, was du vorhin richtig berechnet hast:

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6}[ \end{eqnarray*}$ das ist mir klar.

29.03.2013, 10:38

Konvergenzniete

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaa mist ja klar ich meinte auch

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

D.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n! (n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 10:42

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Du machst es einem wirklich schwer. Auch diese Formel ist falsch. Für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ würde sie

$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

lauten. Immer noch ein Widerspruch zum richtigen Ergebnis oben.

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6}[ \end{eqnarray*}$ das ist mir klar.

Jetzt noch eine kleine Korrektur, aber dann sollte es stimmen.

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